elpaddn0 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem elpaddn0 35086

Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
paddfval.l
paddfval.j	$.\/$
paddfval.a
paddfval.p

**Assertion**
Ref	Expression
elpaddn0	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$

Distinct variable groups:

$.\/$ ,

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem elpaddn0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4
2		paddfval.j	. . . 4 $.\/$
3		paddfval.a	. . . 4
4		paddfval.p	. . . 4
5	1, 2, 3, 4	elpadd 35085	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $.\/$
6	5	adantr 481	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $.\/$
7		simpl2 1065	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	sseld 3602	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
11	10	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
14	13, 3	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . 14
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	13, 3	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . 14
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	13, 1, 2	latlej1 17060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$
21	9, 15, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
22	21	reximdva0 3933	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
23	22	exp31 630	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
24	23	com23 86	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
25	24	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
26	25	ancld 576	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
27		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$
28	27	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$
29	28	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$
30	29	rspcev 3309	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $.\/$
31	26, 30	syl6 35	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
32	31	adantrl 752	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
33	8, 32	jcad 555	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
34		simpl3 1066	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	sseld 3602	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
38	37	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	13, 3	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
43	42	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	43, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	13, 1, 2	latlej2 17061	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $.\/$
46	36, 41, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
47	46	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
48	47	ancld 576	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
49		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 $.\/$ $.\/$
50	49	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 $.\/$ $.\/$
51	50	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $.\/$
52	48, 51	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
53	52	impancom 456	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
54	53	ancld 576	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
55	54	eximdv 1846	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
56		n0 3931	. . . . . . . 8
57		df-rex 2918	. . . . . . . 8 $.\/$ $/\$ $.\/$
58	55, 56, 57	3imtr4g 285	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
59	58	impancom 456	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
60	59	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
61	35, 60	jcad 555	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
62	33, 61	jaod 395	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$
63		pm4.72 920	. . 3 $\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $\/$ $\/$ $/\$ $.\/$
64	62, 63	sylib 208	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $\/$ $\/$ $/\$ $.\/$
65	6, 64	bitr4d 271	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cjn 16944

clat 17045

catm 34550

cpadd 35081

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-lub 16974 df-join 16976 df-lat 17046 df-ats 34554 df-padd 35082

This theorem is referenced by: paddvaln0N 35087 elpaddri 35088 elpaddat 35090 paddasslem15 35120 paddasslem16 35121 pmodlem2 35133 pmapjat1 35139

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