Theorem pmapjoin 35138

Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjoin.b	|- B = ( Base ` K )
pmapjoin.j	|- .\/ = ( join ` K )
pmapjoin.m	|- M = ( pmap ` K )
pmapjoin.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmapjoin	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( M ` X ) .+ ( M ` Y ) ) C_ ( M ` ( X .\/ Y ) ) )

Proof of Theorem pmapjoin

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> p e. ( Atoms ` K ) ) )
3		pmapjoin.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` K )
4		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5	3, 4	atbase 34576	. . . . . . 7 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
7		pmapjoin.j	. . . . . . . . . . 11 |- .\/ = ( join ` K )
8	3, 6, 7	latlej1 17060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
10		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> K e. Lat )
11		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> p e. B )
12		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> X e. B )
13	3, 7	latjcl 17051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
15	3, 6	lattr 17056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ X e. B /\ ( X .\/ Y ) e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
16	10, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
17	9, 16	mpan2d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( p ( le ` K ) X -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
18	17	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
19	5, 18	sylani 686	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
20	2, 19	jcad 555	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
21		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) -> p e. ( Atoms ` K ) ) )
23	3, 6, 7	latlej2 17061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> Y ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
25		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> Y e. B )
26	3, 6	lattr 17056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ Y e. B /\ ( X .\/ Y ) e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) Y /\ Y ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
27	10, 11, 25, 14, 26	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( ( p ( le ` K ) Y /\ Y ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
28	24, 27	mpan2d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( p ( le ` K ) Y -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
29	28	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) Y ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
30	5, 29	sylani 686	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
31	22, 30	jcad 555	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
32	20, 31	jaod 395	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
33		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
34	33	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) ) )
35		pmapjoin.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- M = ( pmap ` K )
36	3, 6, 4, 35	elpmap 35044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( q e. ( M ` X ) <-> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) ) )
37	36	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( q e. ( M ` X ) <-> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) ) )
38	3, 6, 4, 35	elpmap 35044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Lat /\ Y e. B ) -> ( r e. ( M ` Y ) <-> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) Y ) ) )
39	38	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( r e. ( M ` Y ) <-> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) Y ) ) )
40	37, 39	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( q e. ( M ` X ) /\ r e. ( M ` Y ) ) <-> ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) Y ) ) ) )
41		an4 865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) Y ) ) <-> ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) ) )
42	40, 41	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( q e. ( M ` X ) /\ r e. ( M ` Y ) ) <-> ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) ) ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( ( q e. ( M ` X ) /\ r e. ( M ` Y ) ) <-> ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) ) ) )
44	3, 4	atbase 34576	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
45	3, 4	atbase 34576	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. ( Atoms ` K ) -> r e. B )
46	44, 45	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( q e. B /\ r e. B ) )
47		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> K e. Lat )
48		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> q e. B )
49		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> X e. B )
50		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> r e. B )
51		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> Y e. B )
52	3, 6, 7	latjlej12 17067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Lat /\ ( q e. B /\ X e. B ) /\ ( r e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) -> ( q .\/ r ) ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
53	47, 48, 49, 50, 51, 52	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) -> ( q .\/ r ) ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
54		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> p e. B )
55	3, 7	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ q e. B /\ r e. B ) -> ( q .\/ r ) e. B )
56	47, 48, 50, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( q .\/ r ) e. B )
57	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
58	3, 6	lattr 17056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ ( q .\/ r ) e. B /\ ( X .\/ Y ) e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) /\ ( q .\/ r ) ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
59	47, 54, 56, 57, 58	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) /\ ( q .\/ r ) ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
60	59	expcomd 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( q .\/ r ) ( le ` K ) ( X .\/ Y ) -> ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
61	53, 60	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) -> ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
62	61	expimpd 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( ( ( q e. B /\ r e. B ) /\ ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) ) -> ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
63	46, 62	sylani 686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( q ( le ` K ) X /\ r ( le ` K ) Y ) ) -> ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
64	43, 63	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( ( q e. ( M ` X ) /\ r e. ( M ` Y ) ) -> ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
65	64	rexlimdvv 3037	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. B ) -> ( E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
66	65	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. B /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
67	5, 66	sylani 686	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
68	34, 67	jcad 555	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
69	32, 68	jaod 395	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
70		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat )
71	3, 4, 35	pmapssat 35045	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) C_ ( Atoms ` K ) )
72	71	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` X ) C_ ( Atoms ` K ) )
73	3, 4, 35	pmapssat 35045	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
74	73	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
75		pmapjoin.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +P ` K )
76	6, 7, 4, 75	elpadd 35085	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ ( M ` X ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( M ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( p e. ( ( M ` X ) .+ ( M ` Y ) ) <-> ( ( p e. ( M ` X ) \/ p e. ( M ` Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) ) )
77	70, 72, 74, 76	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( ( M ` X ) .+ ( M ` Y ) ) <-> ( ( p e. ( M ` X ) \/ p e. ( M ` Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) ) )
78	3, 6, 4, 35	elpmap 35044	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( p e. ( M ` X ) <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) ) )
79	78	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( M ` X ) <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) ) )
80	3, 6, 4, 35	elpmap 35044	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ Y e. B ) -> ( p e. ( M ` Y ) <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) ) )
81	80	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( M ` Y ) <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) ) )
82	79, 81	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( p e. ( M ` X ) \/ p e. ( M ` Y ) ) <-> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) ) ) )
83	82	orbi1d 739	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( p e. ( M ` X ) \/ p e. ( M ` Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) <-> ( ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) ) )
84	77, 83	bitrd 268	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( ( M ` X ) .+ ( M ` Y ) ) <-> ( ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Y ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) ) )
85	3, 6, 4, 35	elpmap 35044	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B ) -> ( p e. ( M ` ( X .\/ Y ) ) <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
86	70, 13, 85	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( M ` ( X .\/ Y ) ) <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) ) )
87	69, 84, 86	3imtr4d 283	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( ( M ` X ) .+ ( M ` Y ) ) -> p e. ( M ` ( X .\/ Y ) ) ) )
88	87	ssrdv 3609	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( M ` X ) .+ ( M ` Y ) ) C_ ( M ` ( X .\/ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   Latclat 17045   Atomscatm 34550   pmapcpmap 34783   +Pcpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-ats 34554  df-pmap 34790  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  pmapjat1  35139  hlmod1i  35142  paddunN  35213  pl42lem2N  35266