Theorem pmaple 35047

Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmaple.b	|- B = ( Base ` K )
pmaple.l	|- .<_ = ( le ` K )
pmaple.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmaple	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Proof of Theorem pmaple

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlpos 34652	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
2		pmaple.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4	2, 3	atbase 34576	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
5		pmaple.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .<_ = ( le ` K )
6	2, 5	postr 16953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Poset /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
7	6	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Poset -> ( ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
8	7	3expd 1284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Poset -> ( p e. B -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
9	8	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( p e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
10	9	com34 91	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
11	10	3imp 1256	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
12	4, 11	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
13	12	com34 91	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( X .<_ Y -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
14	13	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
15	14	ralrimdv 2968	. . . . 5 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
16	1, 15	syl3an1 1359	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
17		ss2rab 3678	. . . 4 |- ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } <-> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) )
18	16, 17	syl6ibr 242	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
19		hlclat 34645	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
20		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ ( Atoms ` K )
21	2, 3	atssbase 34577	. . . . . . . . 9 |- ( Atoms ` K ) C_ B
22	20, 21	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B
23		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
24	2, 5, 23	lubss 17121	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
25	22, 24	mp3an2 1412	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
26	25	ex 450	. . . . . 6 |- ( K e. CLat -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
27	19, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
28	27	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
29		hlomcmat 34651	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
30	29	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
31		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
32	2, 5, 23, 3	atlatmstc 34606	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
33	30, 31, 32	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
34		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
35	2, 5, 23, 3	atlatmstc 34606	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
36	30, 34, 35	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
37	33, 36	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) <-> X .<_ Y ) )
38	28, 37	sylibd 229	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> X .<_ Y ) )
39	18, 38	impbid 202	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
40		pmaple.m	. . . . 5 |- M = ( pmap ` K )
41	2, 5, 3, 40	pmapval 35043	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
42	41	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
43	2, 5, 3, 40	pmapval 35043	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
44	43	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
45	42, 44	sseq12d 3634	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
46	39, 45	bitr4d 271	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   lubclub 16942   CLatccla 17107   OMLcoml 34462   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   HLchlt 34637   pmapcpmap 34783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-pmap 34790

This theorem is referenced by:  pmap11  35048  hlmod1i  35142  paddunN  35213  pmapojoinN  35254  pl42N  35269