Theorem paddunN 35213

Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 6195.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddun.a	|- A = ( Atoms ` K )
paddun.p	|- .+ = ( +P ` K )
paddun.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddunN	|- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Proof of Theorem paddunN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. HL )
2		paddun.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		paddun.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
4	2, 3	paddssat 35100	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ A )
5	2, 3	paddunssN 35094	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) )
6		paddun.o	. . . 4 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
7	2, 6	polcon3N 35203	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
9		hlclat 34645	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. CLat )
11		unss 3787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) <-> ( S u. T ) C_ A )
12	11	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
13	12	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
15	14, 2	atssbase 34577	. . . . . . . . 9 |- A C_ ( Base ` K )
16	13, 15	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
18	14, 17	clatlubcl 17112	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
19	10, 16, 18	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( pmap ` K ) = ( pmap ` K )
21	14, 20	pmapssbaN 35046	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
22	1, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
23	2, 6	polssatN 35194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
24	23	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
25	2, 6	polssatN 35194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` S ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
26	1, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
27	2, 6	polssatN 35194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
28	27	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
29	2, 6	polssatN 35194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
30	1, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
31	1, 26, 30	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) )
32	2, 6	2polssN 35201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
33	32	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
34	2, 6	2polssN 35201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
35	34	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
36	33, 35	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
37	2, 3	paddss12 35105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) -> ( ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) ) )
38	31, 36, 37	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
39	17, 2, 20, 6	2polvalN 35200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
40	39	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
41	17, 2, 20, 6	2polvalN 35200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
42	41	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
43	40, 42	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
44	38, 43	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
45		hllat 34650	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
46	45	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. Lat )
47		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ A )
48	47, 15	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( Base ` K ) )
49	14, 17	clatlubcl 17112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
51		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ A )
52	51, 15	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( Base ` K ) )
53	14, 17	clatlubcl 17112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
54	10, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
56	14, 55, 20, 3	pmapjoin 35138	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
57	46, 50, 54, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
58	44, 57	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
59	14, 55, 17	lubun 17123	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
60	10, 48, 52, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
62	58, 61	sseqtr4d 3642	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
63		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
64	14, 63, 17	lubss 17121	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) /\ ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
65	10, 22, 62, 64	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
66	4, 15	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) )
67	14, 17	clatlubcl 17112	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
68	10, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
69	14, 17	clatlubcl 17112	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
70	10, 22, 69	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
71	14, 63, 20	pmaple 35047	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
72	1, 68, 70, 71	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
73	65, 72	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
74	17, 2, 20, 6	2polvalN 35200	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
75	1, 4, 74	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
76	17, 2, 20, 6	2polvalN 35200	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
77	1, 13, 76	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
78	17, 2, 20	2pmaplubN 35212	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
79	1, 13, 78	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
80	77, 79	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
81	73, 75, 80	3sstr4d 3648	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) )
82	2, 6	2polcon4bN 35204	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
83	1, 4, 13, 82	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
84	81, 83	mpbid 222	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) )
85	8, 84	eqssd 3620	1 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   lubclub 16942   joincjn 16944   Latclat 17045   CLatccla 17107   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   pmapcpmap 34783   +Pcpadd 35081   _|_PcpolN 35188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-polarityN 35189

This theorem is referenced by:  poldmj1N  35214