Theorem pmtr3ncomlem2 17894

Description: Lemma 2 for pmtr3ncom 17895. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtr3ncom.f	|- F = ( T ` { X , Y } )
pmtr3ncom.g	|- G = ( T ` { Y , Z } )

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncomlem2	|- ( ( D e. V /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ Z e. D ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( G o. F ) =/= ( F o. G ) )

Proof of Theorem pmtr3ncomlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtr3ncom.t	. . 3 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtr3ncom.f	. . 3 |- F = ( T ` { X , Y } )
3		pmtr3ncom.g	. . 3 |- G = ( T ` { Y , Z } )
4	1, 2, 3	pmtr3ncomlem1 17893	. 2 |- ( ( D e. V /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ Z e. D ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( ( G o. F ) ` X ) =/= ( ( F o. G ) ` X ) )
5		fveq1 6190	. . 3 |- ( ( G o. F ) = ( F o. G ) -> ( ( G o. F ) ` X ) = ( ( F o. G ) ` X ) )
6	5	necon3i 2826	. 2 |- ( ( ( G o. F ) ` X ) =/= ( ( F o. G ) ` X ) -> ( G o. F ) =/= ( F o. G ) )
7	4, 6	syl 17	1 |- ( ( D e. V /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ Z e. D ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( G o. F ) =/= ( F o. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {cpr 4179   o. ccom 5118   ` cfv 5888  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  17895