Theorem pmtrdifellem3 17898

Description: Lemma 3 for pmtrdifel 17900. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	|- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
pmtrdifel.r	|- R = ran (pmTrsp ` N )
pmtrdifel.0	|- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem3	|- ( Q e. T -> A. x e. ( N \ { K } ) ( Q ` x ) = ( S ` x ) )

Distinct variable groups:   x, Q   x, T

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   K( x)   N( x)

Proof of Theorem pmtrdifellem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . . . . 7 |- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
2		pmtrdifel.r	. . . . . . 7 |- R = ran (pmTrsp ` N )
3		pmtrdifel.0	. . . . . . 7 |- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )
4	1, 2, 3	pmtrdifellem2 17897	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> dom ( S \ _I ) = dom ( Q \ _I ) )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( Q e. T /\ x e. ( N \ { K } ) ) -> dom ( S \ _I ) = dom ( Q \ _I ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ x e. ( N \ { K } ) ) -> ( x e. dom ( S \ _I ) <-> x e. dom ( Q \ _I ) ) )
7	4	difeq1d 3727	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> ( dom ( S \ _I ) \ { x } ) = ( dom ( Q \ _I ) \ { x } ) )
8	7	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( Q e. T -> U. ( dom ( S \ _I ) \ { x } ) = U. ( dom ( Q \ _I ) \ { x } ) )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ x e. ( N \ { K } ) ) -> U. ( dom ( S \ _I ) \ { x } ) = U. ( dom ( Q \ _I ) \ { x } ) )
10	6, 9	ifbieq1d 4109	. . 3 |- ( ( Q e. T /\ x e. ( N \ { K } ) ) -> if ( x e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { x } ) , x ) = if ( x e. dom ( Q \ _I ) , U. ( dom ( Q \ _I ) \ { x } ) , x ) )
11	1, 2, 3	pmtrdifellem1 17896	. . . 4 |- ( Q e. T -> S e. R )
12		eldifi 3732	. . . 4 |- ( x e. ( N \ { K } ) -> x e. N )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- (pmTrsp ` N ) = (pmTrsp ` N )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- dom ( S \ _I ) = dom ( S \ _I )
15	13, 2, 14	pmtrffv 17879	. . . 4 |- ( ( S e. R /\ x e. N ) -> ( S ` x ) = if ( x e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { x } ) , x ) )
16	11, 12, 15	syl2an 494	. . 3 |- ( ( Q e. T /\ x e. ( N \ { K } ) ) -> ( S ` x ) = if ( x e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { x } ) , x ) )
17		eqid 2622	. . . 4 |- (pmTrsp ` ( N \ { K } ) ) = (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
18		eqid 2622	. . . 4 |- dom ( Q \ _I ) = dom ( Q \ _I )
19	17, 1, 18	pmtrffv 17879	. . 3 |- ( ( Q e. T /\ x e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. dom ( Q \ _I ) , U. ( dom ( Q \ _I ) \ { x } ) , x ) )
20	10, 16, 19	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( Q e. T /\ x e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` x ) = ( S ` x ) )
21	20	ralrimiva 2966	1 |- ( Q e. T -> A. x e. ( N \ { K } ) ( Q ` x ) = ( S ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrdifel  17900  pmtrdifwrdellem3  17903