Theorem poml4N 35239

Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
poml4.a	|- A = ( Atoms ` K )
poml4.p	|- ._|_ = ( _|_P ` K )

Assertion

Ref	Expression
poml4N	|- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X C_ Y /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )

Proof of Theorem poml4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2629	. . 3 |- ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y <-> Y = ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
3		poml4.a	. . . . . . 7 |- A = ( Atoms ` K )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( pmap ` K ) = ( pmap ` K )
5		poml4.p	. . . . . . 7 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
6	2, 3, 4, 5	2polvalN 35200	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) )
7	6	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) )
8	7	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( Y = ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) <-> Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
9	8	biimpd 219	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( Y = ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) -> Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
10	1, 9	syl5bi 232	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y -> Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
11		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> K e. HL )
12		hloml 34644	. . . . . . . 8 |- ( K e. HL -> K e. OML )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> K e. OML )
14		hlclat 34645	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> K e. CLat )
16		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> X C_ A )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
18	17, 3	atssbase 34577	. . . . . . . . 9 |- A C_ ( Base ` K )
19	16, 18	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> X C_ ( Base ` K ) )
20	17, 2	clatlubcl 17112	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ X C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` X ) e. ( Base ` K ) )
21	15, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( lub ` K ) ` X ) e. ( Base ` K ) )
22		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> Y C_ A )
23	22, 18	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> Y C_ ( Base ` K ) )
24	17, 2	clatlubcl 17112	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ Y C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` Y ) e. ( Base ` K ) )
25	15, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( lub ` K ) ` Y ) e. ( Base ` K ) )
26	13, 21, 25	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( K e. OML /\ ( ( lub ` K ) ` X ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` Y ) e. ( Base ` K ) ) )
27		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> X C_ Y )
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
29	17, 28, 2	lubss 17121	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ Y C_ ( Base ` K ) /\ X C_ Y ) -> ( ( lub ` K ) ` X ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) )
30	15, 23, 27, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( lub ` K ) ` X ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
32		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( oc ` K ) = ( oc ` K )
33	17, 28, 31, 32	omllaw4 34533	. . . . . 6 |- ( ( K e. OML /\ ( ( lub ` K ) ` X ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` Y ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( lub ` K ) ` X ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) -> ( ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) = ( ( lub ` K ) ` X ) ) )
34	26, 30, 33	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) = ( ( lub ` K ) ` X ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) )
36	2, 32, 3, 4, 5	polval2N 35192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` X ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ) )
37	11, 16, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ._|_ ` X ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ) )
38		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) )
39	37, 38	ineq12d 3815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ) i^i ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
40		hlop 34649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. HL -> K e. OP )
41	11, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> K e. OP )
42	17, 32	opoccl 34481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OP /\ ( ( lub ` K ) ` X ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) e. ( Base ` K ) )
43	41, 21, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) e. ( Base ` K ) )
44	17, 31, 3, 4	pmapmeet 35059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` Y ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ) i^i ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
45	11, 43, 25, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ) i^i ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
46	39, 45	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) = ( ._|_ ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) )
48		hllat 34650	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> K e. Lat )
50	17, 31	latmcl 17052	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` Y ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) e. ( Base ` K ) )
51	49, 43, 25, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) e. ( Base ` K ) )
52	17, 32, 4, 5	polpmapN 35198	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) )
53	11, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) )
54	47, 53	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) )
55	54, 38	ineq12d 3815	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) i^i ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
56	17, 32	opoccl 34481	. . . . . . 7 |- ( ( K e. OP /\ ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` K ) )
57	41, 51, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` K ) )
58	17, 31, 3, 4	pmapmeet 35059	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` Y ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) i^i ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
59	11, 57, 25, 58	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) i^i ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
60	55, 59	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( ( oc ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ( meet ` K ) ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) )
61	2, 3, 4, 5	2polvalN 35200	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) )
62	11, 16, 61	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` X ) ) )
63	35, 60, 62	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
64	63	ex 450	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X C_ Y /\ Y = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` Y ) ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
65	10, 64	sylan2d 499	1 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X C_ Y /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   occoc 15949   lubclub 16942   meetcmee 16945   Latclat 17045   CLatccla 17107   OPcops 34459   OMLcoml 34462   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   pmapcpmap 34783   _|_PcpolN 35188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-pmap 34790  df-polarityN 35189

This theorem is referenced by:  poml5N  35240  poml6N  35241  pexmidlem6N  35261