ps-2 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem ps-2 34764

Description: Lattice analogue for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ps1.l
ps1.j	$.\/$
ps1.a

**Assertion**
Ref	Expression
ps-2	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$

Distinct variable groups:

, $.\/$

**Proof of Theorem ps-2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl21 1139	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simp1 1061	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3		simp21 1094	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp23 1096	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		ps1.l	. . . . . . . 8
6		ps1.j	. . . . . . . 8 $.\/$
7		ps1.a	. . . . . . . 8
8	5, 6, 7	hlatlej1 34661	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $.\/$
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
10	9	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
11		simp3r 1090	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	5, 6, 7	hlatlej1 34661	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
13	2, 3, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
14		oveq1 6657	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$
15	14	breq2d 4665	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$
16	13, 15	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
17	16	imp 445	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
18		breq1 4656	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$
19		breq1 4656	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$
20	18, 19	anbi12d 747	. . . . . 6 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
21	20	rspcev 3309	. . . . 5 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
22	1, 10, 17, 21	syl12anc 1324	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
23	22	a1d 25	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
24		hlop 34649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25	24	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	26, 27	op0cl 34471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	26, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33	27, 32, 7	atcvr0 34575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
34	2, 3, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	26, 35, 32	cvrlt 34557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
37	2, 29, 31, 34, 36	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		hlpos 34652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	38	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		hllat 34650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	40	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	26, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43	4, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	26, 6	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $.\/$
45	41, 31, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
46	26, 5, 35	pltletr 16971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
47	39, 29, 31, 45, 46	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
48	37, 9, 47	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
49	35	pltne 16962	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
50	2, 29, 45, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
51	48, 50	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
52	51	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
54		hlatl 34647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55	54	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	5, 7	atncmp 34599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
58	55, 56, 3, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		simp22 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	26, 5, 6, 7	hlexch1 34668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
61	60	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
62	2, 56, 59, 31, 61	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
63	58, 62	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
64	63	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
65	26, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66	59, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	26, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	56, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	26, 6	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $.\/$
70	41, 31, 68, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
71	26, 5, 6	latjlej1 17065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
72	41, 66, 70, 43, 71	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
74	64, 73	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
75	74	adantrrr 761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
76	26, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	11, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	26, 6	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $.\/$
79	41, 66, 43, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
80	26, 6	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
81	41, 70, 43, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
82	26, 5	lattr 17056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
83	41, 77, 79, 81, 82	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
84	83	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
85	84	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
86	85	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
87	75, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
88	6, 7	hlatj32 34658	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
89	2, 3, 56, 4, 88	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
90	89	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
92	87, 91	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
93	53, 92	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
94	93	adantrrl 760	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
95	94	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
96	26, 5, 6, 27, 7	cvrat4 34729	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
97	2, 45, 11, 56, 96	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
98	95, 97	syld 47	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
99	98	impl 650	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
100	99	adantrlr 759	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
101	5, 7	atncmp 34599	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
102	55, 11, 56, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		necom 2847	. . . . . . . . . . . . . 14
104	102, 103	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	26, 5, 6, 7	hlexch1 34668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
111	110	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
112	106, 107, 108, 109, 111	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
113	105, 112	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
114	113	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
115	114	an32s 846	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
116	115	anim2d 589	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
117	116	reximdva 3017	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
118	117	ad2ant2rl 785	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
119	118	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
120	100, 119	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
121	120	ex 450	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
122	23, 121	pm2.61dane 2881	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
123	122	imp 445	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cpo 16940

cplt 16941

cjn 16944

cp0 17037

clat 17045

cops 34459

ccvr 34549

catm 34550

cal 34551

chlt 34637

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638

This theorem is referenced by: ps-2b 34768 paddasslem3 35108

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