cvrat4 - Mathbox for Norm Megill

	Mathbox for Norm Megill		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > cvrat4		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem cvrat4 34729

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 in [PtakPulmannova] p. 68. Also Lemma 9.2(delta) in [MaedaMaeda] p. 41. (atcvat4i 29256 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvrat4.b
cvrat4.l
cvrat4.j	$.\/$
cvrat4.z
cvrat4.a

**Assertion**
Ref	Expression
cvrat4	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$

Distinct variable groups:

$.\/$ ,

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem cvrat4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 34647	. . . . . . . . . 10
2	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3		simpr1 1067	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
4		cvrat4.b	. . . . . . . . . . 11
5		cvrat4.l	. . . . . . . . . . 11
6		cvrat4.z	. . . . . . . . . . 11
7		cvrat4.a	. . . . . . . . . . 11
8	4, 5, 6, 7	atlex 34603	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
9	8	3exp 1264	. . . . . . . . 9
10	2, 3, 9	sylc 65	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		cvrat4.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 $.\/$
16	5, 15, 7	hlatlej1 34661	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $.\/$
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
18		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 $.\/$ $.\/$
19	17, 18	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
20	19	expd 452	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
21	20	impcom 446	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
22	21	anim2d 589	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
23	22	expcomd 454	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
24	23	reximdvai 3015	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
25	11, 24	syld 47	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
26	25	ex 450	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
27	26	a1i 11	. . . 4 $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
28	27	com4l 92	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
29	28	imp4a 614	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
30		hllat 34650	. . . . . . . . . . . . . 14
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
32		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
33	4, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . 14
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
35	4, 5, 15	latleeqj2 17064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$
36	31, 34, 3, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
37	36	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
38	37	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
39	38	biimpa 501	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
40	39	expl 648	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
41		simpl 473	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
42		simpr2 1068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
43	5, 15, 7	hlatlej2 34662	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
44	41, 32, 42, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
45	40, 44	jctird 567	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
46	45, 42	jctild 566	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
47	46	impl 650	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
48		breq1 4656	. . . . . . 7
49		oveq2 6658	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$
50	49	breq2d 4665	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$
51	48, 50	anbi12d 747	. . . . . 6 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
52	51	rspcev 3309	. . . . 5 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
53	47, 52	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
54	53	adantrl 752	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
55	54	exp31 630	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
56		simpr 477	. . 3 $/\$ $.\/$ $.\/$
57		ioran 511	. . . . 5 $\/$ $/\$
58		df-ne 2795	. . . . . 6
59	58	anbi1i 731	. . . . 5 $/\$ $/\$
60	57, 59	bitr4i 267	. . . 4 $\/$ $/\$
61		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
62	4, 5, 15, 61, 7	cvrat3 34728	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
63	62	3expd 1284	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
64	63	imp4c 617	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
65	4, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . 13
66	42, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
67	4, 15	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$
68	31, 66, 34, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
69	4, 5, 61	latmle1 17076	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
70	31, 3, 68, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
71	70	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
72		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
73	63	imp44 622	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
74		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
75	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
76	73, 74, 75	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
77	72, 76	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
78	4, 5, 61, 6, 7	atnle 34604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
79	2, 32, 3, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
80	4, 61	latmcom 17075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
81	31, 34, 3, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
82	81	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
83	79, 82	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
84	4, 61	latmcl 17052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
85	31, 3, 68, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
86	85, 3, 34	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
87	31, 86	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
88	4, 5, 61	latmlem2 17082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
89	87, 70, 88	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
90	89, 81	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
91		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $.\/$ $.\/$
92	90, 91	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
93		hlop 34649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
95	4, 61	latmcl 17052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
96	31, 34, 85, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
97	4, 5, 6	ople0 34474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
98	94, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
99	92, 98	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
100	83, 99	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
101	100	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
102	101	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
103	102	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
104	4, 5, 61	latmle2 17077	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
105	31, 3, 68, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
106	4, 15	latjcom 17059	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
107	31, 66, 34, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
108	105, 107	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
110	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
111		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
112		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
113	4, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . 14 $.\/$ $.\/$
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
115	4, 61	latmcom 17075	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
116	110, 111, 114, 115	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
117	116	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
118	4, 5, 15, 61, 6, 7	hlexch3 34677	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
119	118	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
120	117, 119	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
121	77, 103, 109, 120	syl3c 66	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
122	71, 121	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
123	122	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
124	64, 123	jcad 555	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
125		breq1 4656	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$
126		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
127	126	breq2d 4665	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
128	125, 127	anbi12d 747	. . . . . . 7 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
129	128	rspcev 3309	. . . . . 6 $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
130	124, 129	syl6 35	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
131	130	expd 452	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
132	60, 131	syl5bi 232	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
133	56, 132	syl7 74	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
134	29, 55, 133	ecase3d 984	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cjn 16944

cmee 16945

cp0 17037

clat 17045

cops 34459

catm 34550

cal 34551

chlt 34637

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638

This theorem is referenced by: cvrat42 34730 ps-2 34764

W3C validator