Theorem xkoptsub 21457

Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoptsub.x	|- X = U. R
xkoptsub.j	|- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )

Assertion

Ref	Expression
xkoptsub	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Proof of Theorem xkoptsub

Dummy variables f g k n u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkoptsub.j	. . . . 5 |- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )
2		xkoptsub.x	. . . . . . . . 9 |- X = U. R
3	2	topopn 20711	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X e. R )
5		fconstg 6092	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Top -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
6	5	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
7		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( X X. { S } ) : X --> { S } -> ( X X. { S } ) Fn X )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) Fn X )
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) }
10	9	ptval 21373	. . . . . . 7 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) Fn X ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
11	4, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
13	12	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { S } C_ Top )
14	6, 13	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n )
16	9, 15	ptbasfi 21384	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) : X --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
17	4, 14, 16	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
18		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
19	18	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
20	19	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = U. S )
21	20	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. S )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. S = U. S
23	22	topopn 20711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
24		ixpconstg 7917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. R /\ U. S e. S ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
25	3, 23, 24	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
26	21, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
27	26	sneqd 4189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } = { ( U. S ^m X ) } )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- X = X
29		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
30	29	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
31	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
32	31	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
33	32	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
34	33	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
35	34	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
36	30, 35	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
38		mpt2eq123 6714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X = X /\ A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
39	28, 37, 38	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
40	39	rneqd 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
41	27, 40	uneq12d 3768	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
43	17, 42	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
45	11, 44	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
46	1, 45	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> J = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
47	46	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
48		firest 16093	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
49	48	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
50		fvex 6201	. . . . 5 |- ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V
51		ovex 6678	. . . . 5 |- ( R Cn S ) e. _V
52		tgrest 20963	. . . . 5 |- ( ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
53	50, 51, 52	mp2an 708	. . . 4 |- ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
54	49, 53	eqtri 2644	. . 3 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
55	47, 54	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) )
56		xkotop 21391	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
57		snex 4908	. . . . . 6 |- { ( U. S ^m X ) } e. _V
58		mpt2exga 7246	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. R /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
59	3, 58	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
60		rnexg 7098	. . . . . . 7 |- ( ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
62		unexg 6959	. . . . . 6 |- ( ( { ( U. S ^m X ) } e. _V /\ ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
63	57, 61, 62	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
64		restval 16087	. . . . 5 |- ( ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
65	63, 51, 64	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
66		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) <-> ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
67	2, 22	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( R Cn S ) -> x : X --> U. S )
68		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U. S e. S /\ X e. R ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
69	23, 3, 68	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
70	67, 69	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( R Cn S ) -> x e. ( U. S ^m X ) ) )
71	70	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
73		elsni 4194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { ( U. S ^m X ) } -> x = ( U. S ^m X ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> x = ( U. S ^m X ) )
75	72, 74	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ x )
76		sseqin2 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Cn S ) C_ x <-> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
77	75, 76	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
79	78	xkouni 21402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
81	80	topopn 20711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ^ko R ) e. Top -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
82	56, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
83	79, 82	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
85	77, 84	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
87	86	rnmpt2 6770	. . . . . . . . . 10 |- ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = { x | E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) }
88	87	abeq2i 2735	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) <-> E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
89		cnvresima 5623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) )
90	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
91	90	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
92	91	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
93	92	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
94	89, 93	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
95		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w ` k ) e. _V
96	95	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V
97		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) )
98	97	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
99	96, 98	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
100		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
102		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
103		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` k ) e. _V
104	102, 97, 103	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( R Cn S ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
106	105	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
107	103	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f ` k ) e. u <-> { ( f ` k ) } C_ u )
108	90	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f e. ( U. S ^m X ) )
109		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. ( U. S ^m X ) -> f : X --> U. S )
110		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : X --> U. S -> f Fn X )
111	108, 109, 110	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f Fn X )
112		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> k e. X )
113		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f Fn X /\ k e. X ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
114	111, 112, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
115	114	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( { ( f ` k ) } C_ u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
116	107, 115	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( f ` k ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
117	106, 116	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
118	117	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
119	101, 118	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
120	119	abbi2dv 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) } )
121		df-rab 2921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) }
122	120, 121	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
123	94, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
124		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. Top )
125	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> S e. Top )
126		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> k e. X )
127	126	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { k } C_ X )
128	2	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
129	124, 128	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. (TopOn ` X ) )
130		restsn2 20975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ k e. X ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
131	129, 126, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
132		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { k } e. Fin
133		discmp 21201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { k } e. Fin <-> ~P { k } e. Comp )
134	132, 133	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~P { k } e. Comp
135	131, 134	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) e. Comp )
136		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> u e. S )
137	2, 124, 125, 127, 135, 136	xkoopn 21392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } e. ( S ^ko R ) )
138	123, 137	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
139		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) )
140	139	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) <-> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
141	138, 140	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
142	141	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
143	142	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
144	88, 143	sylan2b 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
145	85, 144	jaodan 826	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
146	66, 145	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
147		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) = ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) )
148	146, 147	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) )
149		frn 6053	. . . . 5 |- ( ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
150	148, 149	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
151	65, 150	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )
152		tgfiss 20795	. . 3 |- ( ( ( S ^ko R ) e. Top /\ ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
153	56, 151, 152	syl2anc 693	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
154	55, 153	eqsstrd 3639	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   ficfi 8316   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  xkopt  21458  xkopjcn  21459