Theorem ptcmplem1 21856

Description: Lemma for ptcmp 21862. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem1	|- ( ph -> ( X = U. ( ran S u. { X } ) /\ ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, u, w, A   S, k, n, u   ph, k, n, u   k, V, n, u, w   k, F, n, u, w   k, X, n, u, w

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)

Proof of Theorem ptcmplem1

Dummy variables g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcmp.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
2		ptcmp.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> Comp )
3		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> Comp -> F Fn A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn A )
5		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
6	5	ptval 21373	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
7	1, 4, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
8		cmptop 21198	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Comp -> x e. Top )
9	8	ssriv 3607	. . . . . . . . . 10 |- Comp C_ Top
10		fss 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> Comp /\ Comp C_ Top ) -> F : A --> Top )
11	2, 9, 10	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> Top )
12		ptcmp.2	. . . . . . . . . 10 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
13	5, 12	ptbasfi 21384	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
14	1, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
15		uncom 3757	. . . . . . . . . 10 |- ( ran S u. { X } ) = ( { X } u. ran S )
16		ptcmp.1	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
17	16	rneqi 5352	. . . . . . . . . . 11 |- ran S = ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
18	17	uneq2i 3764	. . . . . . . . . 10 |- ( { X } u. ran S ) = ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
19	15, 18	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( ran S u. { X } ) = ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
20	19	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) = ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
21	14, 20	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) )
23	7, 22	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) )
24	23	unieqd 4446	. . . 4 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = U. ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) )
25		fibas 20781	. . . . 5 |- ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) e. TopBases
26		unitg 20771	. . . . 5 |- ( ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) = U. ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- U. ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) = U. ( fi ` ( ran S u. { X } ) )
28	24, 27	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = U. ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) )
29		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
30	29	ptuni 21397	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = U. ( Xt_ ` F ) )
31	1, 11, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = U. ( Xt_ ` F ) )
32	12, 31	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> X = U. ( Xt_ ` F ) )
33		ptcmp.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
34		pwexg 4850	. . . . . . 7 |- ( X e. (UFL i^i dom card ) -> ~P X e. _V )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P X e. _V )
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) )
37	36	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = { w e. X | ( w ` k ) e. u }
38		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { w e. X | ( w ` k ) e. u } C_ X
39	37, 38	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) C_ X
40	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> X e. (UFL i^i dom card ) )
41		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. (UFL i^i dom card ) -> ( ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ~P X <-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) C_ X ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ~P X <-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) C_ X ) )
43	39, 42	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ~P X )
44	43	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A A. u e. ( F ` k ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ~P X )
45	16	fmpt2x 7236	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A A. u e. ( F ` k ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ~P X <-> S : U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) --> ~P X )
46	44, 45	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) --> ~P X )
47		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( S : U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) --> ~P X -> ran S C_ ~P X )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran S C_ ~P X )
49	35, 48	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> ran S e. _V )
50		snex 4908	. . . . 5 |- { X } e. _V
51		unexg 6959	. . . . 5 |- ( ( ran S e. _V /\ { X } e. _V ) -> ( ran S u. { X } ) e. _V )
52	49, 50, 51	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( ran S u. { X } ) e. _V )
53		fiuni 8334	. . . 4 |- ( ( ran S u. { X } ) e. _V -> U. ( ran S u. { X } ) = U. ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . 3 |- ( ph -> U. ( ran S u. { X } ) = U. ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) )
55	28, 32, 54	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> X = U. ( ran S u. { X } ) )
56	55, 23	jca 554	1 |- ( ph -> ( X = U. ( ran S u. { X } ) /\ ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   X_cixp 7908   Fincfn 7955   ficfi 8316   cardccrd 8761   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   Compccmp 21189  UFLcufl 21704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-bases 20750  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  ptcmplem5  21860