Theorem prdstopn 21431

Description: Topology of a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdstopn.y	|- Y = ( S X_s R )
prdstopn.s	|- ( ph -> S e. V )
prdstopn.i	|- ( ph -> I e. W )
prdstopn.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdstopn.o	|- O = ( TopOpen ` Y )

Assertion

Ref	Expression
prdstopn	|- ( ph -> O = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )

Proof of Theorem prdstopn

Dummy variables x g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdstopn.y	. . . . . 6 |- Y = ( S X_s R )
2		prdstopn.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
3		prdstopn.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Fn I )
4		prdstopn.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. W )
5		fnex 6481	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. _V )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
8		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> dom R = dom R )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- (TopSet ` Y ) = (TopSet ` Y )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	prdstset 16126	. . . . 5 |- ( ph -> (TopSet ` Y ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
11		topnfn 16086	. . . . . . . . . . 11 |- TopOpen Fn _V
12		dffn2 6047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Fn I <-> R : I --> _V )
13	3, 12	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R : I --> _V )
14		fnfco 6069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R : I --> _V ) -> ( TopOpen o. R ) Fn I )
15	11, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( TopOpen o. R ) Fn I )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) }
17	16	ptval 21373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. W /\ ( TopOpen o. R ) Fn I ) -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } ) )
18	4, 15, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } ) )
19	18	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = U. ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } ) )
20		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) -> A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) )
21		fvco2 6273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R Fn I /\ y e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` y ) = ( TopOpen ` ( R ` y ) ) )
22	3, 21	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` y ) = ( TopOpen ` ( R ` y ) ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (TopSet ` ( R ` y ) ) = (TopSet ` ( R ` y ) )
25	23, 24	topnval 16095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (TopSet ` ( R ` y ) ) ↾t ( Base ` ( R ` y ) ) ) = ( TopOpen ` ( R ` y ) )
26		restsspw 16092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (TopSet ` ( R ` y ) ) ↾t ( Base ` ( R ` y ) ) ) C_ ~P ( Base ` ( R ` y ) )
27	25, 26	eqsstr3i 3636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( TopOpen ` ( R ` y ) ) C_ ~P ( Base ` ( R ` y ) )
28	22, 27	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` y ) C_ ~P ( Base ` ( R ` y ) ) )
29	28	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) -> ( g ` y ) e. ~P ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
30		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g ` y ) e. _V
31	30	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g ` y ) e. ~P ( Base ` ( R ` y ) ) <-> ( g ` y ) C_ ( Base ` ( R ` y ) ) )
32	29, 31	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) -> ( g ` y ) C_ ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
33	32	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) -> A. y e. I ( g ` y ) C_ ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) -> A. y e. I ( g ` y ) C_ ( Base ` ( R ` y ) ) )
35	20, 34	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) ) -> A. y e. I ( g ` y ) C_ ( Base ` ( R ` y ) ) )
36		ss2ixp 7921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. I ( g ` y ) C_ ( Base ` ( R ` y ) ) -> X_ y e. I ( g ` y ) C_ X_ y e. I ( Base ` ( R ` y ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) ) -> X_ y e. I ( g ` y ) C_ X_ y e. I ( Base ` ( R ` y ) ) )
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) ) -> x = X_ y e. I ( g ` y ) )
39	1, 7, 2, 4, 3	prdsbas2 16129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = X_ y e. I ( Base ` ( R ` y ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) ) -> ( Base ` Y ) = X_ y e. I ( Base ` ( R ` y ) ) )
41	37, 38, 40	3sstr4d 3648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) ) -> x C_ ( Base ` Y ) )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) -> x C_ ( Base ` Y ) ) )
43	42	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) -> x C_ ( Base ` Y ) ) )
44		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ( Base ` Y ) <-> x C_ ( Base ` Y ) )
45	43, 44	syl6ibr 242	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) -> x e. ~P ( Base ` Y ) ) )
46	45	abssdv 3676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } C_ ~P ( Base ` Y ) )
47		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` Y ) e. _V
48	47	pwex 4848	. . . . . . . . . 10 |- ~P ( Base ` Y ) e. _V
49	48	ssex 4802	. . . . . . . . 9 |- ( { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } C_ ~P ( Base ` Y ) -> { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } e. _V )
50		unitg 20771	. . . . . . . . 9 |- ( { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } e. _V -> U. ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } ) = U. { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } )
51	46, 49, 50	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } ) = U. { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } )
52	19, 51	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = U. { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } )
53		sspwuni 4611	. . . . . . . 8 |- ( { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } C_ ~P ( Base ` Y ) <-> U. { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } C_ ( Base ` Y ) )
54	46, 53	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. y e. I ( g ` y ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( I \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. I ( g ` y ) ) } C_ ( Base ` Y ) )
55	52, 54	eqsstrd 3639	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) C_ ( Base ` Y ) )
56		sspwuni 4611	. . . . . 6 |- ( ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) C_ ~P ( Base ` Y ) <-> U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) C_ ( Base ` Y ) )
57	55, 56	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) C_ ~P ( Base ` Y ) )
58	10, 57	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ph -> (TopSet ` Y ) C_ ~P ( Base ` Y ) )
59	7, 9	topnid 16096	. . . 4 |- ( (TopSet ` Y ) C_ ~P ( Base ` Y ) -> (TopSet ` Y ) = ( TopOpen ` Y ) )
60	58, 59	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (TopSet ` Y ) = ( TopOpen ` Y ) )
61		prdstopn.o	. . 3 |- O = ( TopOpen ` Y )
62	60, 61	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` Y ) = O )
63	62, 10	eqtr3d 2658	1 |- ( ph -> O = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   Basecbs 15857  TopSetcts 15947   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   X__scprds 16106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  21614  prdstmdd  21927  prdstgpd  21928  prdsxmslem2  22334