Theorem ptval2 21404

Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptval2.1	|- J = ( Xt_ ` F )
ptval2.2	|- X = U. J
ptval2.3	|- G = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )

Assertion

Ref	Expression
ptval2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> J = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ran G ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, k, w, A   k, F, u, w   k, V, u, w   w, X

Allowed substitution hints:   G( w, u, k)   J( w, u, k)   X( u, k)

Proof of Theorem ptval2

Dummy variables g n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6045	. . 3 |- ( F : A --> Top -> F Fn A )
2		ptval2.1	. . . 4 |- J = ( Xt_ ` F )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
4	3	ptval 21373	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
5	2, 4	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> J = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
6	1, 5	sylan2 491	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> J = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- X_ n e. A U. ( F ` n ) = X_ n e. A U. ( F ` n )
8	3, 7	ptbasfi 21384	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. A U. ( F ` n ) } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
9	2	ptuni 21397	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = U. J )
10		ptval2.2	. . . . . . . 8 |- X = U. J
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
12	11	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { X_ n e. A U. ( F ` n ) } = { X } )
13	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
14	13	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) -> ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) ) )
15	14	cnveqd 5298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) -> `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) )
16	15	imaeq1d 5465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) -> ( `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
17	16	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
18		ptval2.3	. . . . . . . 8 |- G = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
19	17, 18	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = G )
20	19	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ran G )
21	12, 20	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( { X_ n e. A U. ( F ` n ) } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = ( { X } u. ran G ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` ( { X_ n e. A U. ( F ` n ) } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. A U. ( F ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = ( fi ` ( { X } u. ran G ) ) )
23	8, 22	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X } u. ran G ) ) )
24	23	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ran G ) ) ) )
25	6, 24	eqtrd 2656	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> J = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ran G ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   X_cixp 7908   Fincfn 7955   ficfi 8316   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  ptrescn  21442  ptrest  33408