Theorem ptcnp 21425

Description: If every projection of a function is continuous at D, then the function itself is continuous at D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcnp.2	|- K = ( Xt_ ` F )
ptcnp.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
ptcnp.4	|- ( ph -> I e. V )
ptcnp.5	|- ( ph -> F : I --> Top )
ptcnp.6	|- ( ph -> D e. X )
ptcnp.7	|- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcnp	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )

Distinct variable groups:   x, k, D   k, I, x   k, J   ph, k, x   k, F, x   k, V, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   J( x)   K( x, k)

Proof of Theorem ptcnp

Dummy variables f g w z a n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcnp.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		ptcnp.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : I --> Top )
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. Top )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
6	5	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` k ) e. Top <-> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
7	4, 6	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
8		ptcnp.7	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
9		cnpf2 21054	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
10	2, 7, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
12	11	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
13	10, 12	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
14	13	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> A e. U. ( F ` k ) )
15	14	an32s 846	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. I ) -> A e. U. ( F ` k ) )
16	15	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. I A e. U. ( F ` k ) )
17		ptcnp.4	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> I e. V )
19		mptelixpg 7945	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I U. ( F ` k ) <-> A. k e. I A e. U. ( F ` k ) ) )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I U. ( F ` k ) <-> A. k e. I A e. U. ( F ` k ) ) )
21	16, 20	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I U. ( F ` k ) )
22		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
23	21, 22	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) : X --> X_ k e. I U. ( F ` k ) )
24		df-3an 1039	. . . . . . . 8 |- ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) <-> ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) )
25		ptcnp.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( Xt_ ` F )
26		ptcnp.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. X )
27		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) )
28		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) )
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k X
30		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( k e. I |-> A )
31	29, 30	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
32		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k D
33	31, 32	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
34	33	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n )
35	28, 34	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) )
36	27, 35	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) )
37		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> g Fn I )
38		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( g ` n ) = ( g ` k ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
41	39, 40	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ( g ` n ) e. ( F ` n ) <-> ( g ` k ) e. ( F ` k ) ) )
42	41	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ k e. I ) -> ( g ` k ) e. ( F ` k ) )
43	38, 42	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) /\ k e. I ) -> ( g ` k ) e. ( F ` k ) )
44		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) )
45	44	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> w e. Fin )
46	44	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) )
47	40	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
48	39, 47	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ( g ` n ) = U. ( F ` n ) <-> ( g ` k ) = U. ( F ` k ) ) )
49	48	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) /\ k e. ( I \ w ) ) -> ( g ` k ) = U. ( F ` k ) )
50	46, 49	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) /\ k e. ( I \ w ) ) -> ( g ` k ) = U. ( F ` k ) )
51		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) )
52	39	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- X_ n e. I ( g ` n ) = X_ k e. I ( g ` k )
53	51, 52	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( g ` k ) )
54	25, 1, 17, 3, 26, 8, 36, 37, 43, 45, 50, 53	ptcnplem 21424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) )
55	54	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) /\ ( ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) )
56	55	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) /\ ( w e. Fin /\ A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
57	56	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) -> ( E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) ) ) )
58	57	impr 649	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
59	24, 58	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
60		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( f = X_ n e. I ( g ` n ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) ) )
61	52	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = X_ n e. I ( g ` n ) <-> f = X_ k e. I ( g ` k ) )
62	61	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = X_ n e. I ( g ` n ) -> f = X_ k e. I ( g ` k ) )
63	62	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( f = X_ n e. I ( g ` n ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) )
64	63	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( f = X_ n e. I ( g ` n ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) <-> ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
65	64	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( f = X_ n e. I ( g ` n ) -> ( E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) <-> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
66	60, 65	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( f = X_ n e. I ( g ` n ) -> ( ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) <-> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ n e. I ( g ` n ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( g ` k ) ) ) ) )
67	59, 66	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) ) -> ( f = X_ n e. I ( g ` n ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) ) )
68	67	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ f = X_ n e. I ( g ` n ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) ) )
69	68	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ f = X_ n e. I ( g ` n ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) ) )
70	69	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ph -> A. f ( E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ f = X_ n e. I ( g ` n ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) ) )
71		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( a = f -> ( a = X_ n e. I ( g ` n ) <-> f = X_ n e. I ( g ` n ) ) )
72	71	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( a = f -> ( ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) <-> ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ f = X_ n e. I ( g ` n ) ) ) )
73	72	exbidv 1850	. . . 4 |- ( a = f -> ( E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) <-> E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ f = X_ n e. I ( g ` n ) ) ) )
74	73	ralab 3367	. . 3 |- ( A. f e. { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) } ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) <-> A. f ( E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ f = X_ n e. I ( g ` n ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) ) )
75	70, 74	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> A. f e. { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) } ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) )
76		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : I --> Top -> F Fn I )
77	3, 76	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn I )
78		eqid 2622	. . . . . 6 |- { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) } = { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) }
79	78	ptval 21373	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F Fn I ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) } ) )
80	17, 77, 79	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) } ) )
81	25, 80	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> K = ( topGen ` { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) } ) )
82	3	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( k e. I |-> ( F ` k ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` ( k e. I |-> ( F ` k ) ) ) )
84	25, 83	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> K = ( Xt_ ` ( k e. I |-> ( F ` k ) ) ) )
85	7	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. I ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
86		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` ( k e. I |-> ( F ` k ) ) ) = ( Xt_ ` ( k e. I |-> ( F ` k ) ) )
87	86	pttopon 21399	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ A. k e. I ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) ) -> ( Xt_ ` ( k e. I |-> ( F ` k ) ) ) e. (TopOn ` X_ k e. I U. ( F ` k ) ) )
88	17, 85, 87	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( k e. I |-> ( F ` k ) ) ) e. (TopOn ` X_ k e. I U. ( F ` k ) ) )
89	84, 88	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` X_ k e. I U. ( F ` k ) ) )
90	1, 81, 89, 26	tgcnp 21057	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) : X --> X_ k e. I U. ( F ` k ) /\ A. f e. { a | E. g ( ( g Fn I /\ A. n e. I ( g ` n ) e. ( F ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( I \ w ) ( g ` n ) = U. ( F ` n ) ) /\ a = X_ n e. I ( g ` n ) ) } ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. f -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ f ) ) ) ) )
91	23, 75, 90	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  ptcn  21430