Theorem tmdgsum2 21900

Description: For any neighborhood U of n X, there is a neighborhood u of X such that any sum of n elements in u sums to an element of U. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmdgsum.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tmdgsum.b	|- B = ( Base ` G )
tmdgsum2.t	|- .x. = (.g ` G )
tmdgsum2.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tmdgsum2.2	|- ( ph -> G e. TopMnd )
tmdgsum2.a	|- ( ph -> A e. Fin )
tmdgsum2.u	|- ( ph -> U e. J )
tmdgsum2.x	|- ( ph -> X e. B )
tmdgsum2.3	|- ( ph -> ( ( # ` A ) .x. X ) e. U )

Assertion

Ref	Expression
tmdgsum2	|- ( ph -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) )

Distinct variable groups:   u, f, A   f, J, u   f, X, u   B, f, u   f, G, u   U, f, u

Allowed substitution hints:   ph( u, f)   .x. ( u, f)

Proof of Theorem tmdgsum2

Dummy variables g k t x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) ) = ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) )
2	1	mptpreima 5628	. . . . . 6 |- ( `' ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) ) " U ) = { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U }
3		tmdgsum2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		tmdgsum2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. TopMnd )
5		tmdgsum2.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
6		tmdgsum.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( TopOpen ` G )
7		tmdgsum.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
8	6, 7	tmdgsum 21899	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. CMnd /\ G e. TopMnd /\ A e. Fin ) -> ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) ) e. ( ( J ^ko ~P A ) Cn J ) )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) ) e. ( ( J ^ko ~P A ) Cn J ) )
10		tmdgsum2.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. J )
11		cnima 21069	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) ) e. ( ( J ^ko ~P A ) Cn J ) /\ U e. J ) -> ( `' ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) ) " U ) e. ( J ^ko ~P A ) )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( f e. ( B ^m A ) |-> ( G gsumg f ) ) " U ) e. ( J ^ko ~P A ) )
13	2, 12	syl5eqelr 2706	. . . . 5 |- ( ph -> { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } e. ( J ^ko ~P A ) )
14	6, 7	tmdtopon 21885	. . . . . . . 8 |- ( G e. TopMnd -> J e. (TopOn ` B ) )
15		topontop 20718	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
16	4, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
17		xkopt 21458	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin ) -> ( J ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { J } ) ) )
18	16, 5, 17	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { J } ) ) )
19		fnconstg 6093	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> ( A X. { J } ) Fn A )
20	4, 14, 19	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A X. { J } ) Fn A )
21		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
22	21	ptval 21373	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ ( A X. { J } ) Fn A ) -> ( Xt_ ` ( A X. { J } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
23	5, 20, 22	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( A X. { J } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
24	18, 23	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ^ko ~P A ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
25	13, 24	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } e. ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
26		tmdgsum2.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
27		fconst6g 6094	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( A X. { X } ) : A --> B )
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { X } ) : A --> B )
29		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) e. _V
30	7, 29	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. _V
31		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ A e. Fin ) -> ( ( A X. { X } ) e. ( B ^m A ) <-> ( A X. { X } ) : A --> B ) )
32	30, 5, 31	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A X. { X } ) e. ( B ^m A ) <-> ( A X. { X } ) : A --> B ) )
33	28, 32	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( A X. { X } ) e. ( B ^m A ) )
34		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 |- ( A X. { X } ) = ( k e. A |-> X )
35	34	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( G gsumg ( A X. { X } ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> X ) )
36		cmnmnd 18208	. . . . . . . . 9 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
37	3, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. Mnd )
38		tmdgsum2.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` G )
39	7, 38	gsumconst 18334	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) )
40	37, 5, 26, 39	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) )
41	35, 40	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( A X. { X } ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) )
42		tmdgsum2.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( # ` A ) .x. X ) e. U )
43	41, 42	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( A X. { X } ) ) e. U )
44		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( f = ( A X. { X } ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( A X. { X } ) ) )
45	44	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( f = ( A X. { X } ) -> ( ( G gsumg f ) e. U <-> ( G gsumg ( A X. { X } ) ) e. U ) )
46	45	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ( A X. { X } ) e. { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } <-> ( ( A X. { X } ) e. ( B ^m A ) /\ ( G gsumg ( A X. { X } ) ) e. U ) )
47	33, 43, 46	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. { X } ) e. { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } )
48		tg2 20769	. . . 4 |- ( ( { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } e. ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) /\ ( A X. { X } ) e. { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. t e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ( ( A X. { X } ) e. t /\ t C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) )
49	25, 47, 48	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> E. t e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ( ( A X. { X } ) e. t /\ t C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) )
50		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( t = x -> ( ( A X. { X } ) e. t <-> ( A X. { X } ) e. x ) )
51		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( t = x -> ( t C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } <-> x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) )
52	50, 51	anbi12d 747	. . . 4 |- ( t = x -> ( ( ( A X. { X } ) e. t /\ t C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) <-> ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) )
53	52	rexab2 3373	. . 3 |- ( E. t e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ( ( A X. { X } ) e. t /\ t C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) <-> E. x ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) )
54	49, 53	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. x ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) )
55		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
56	4, 14, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = U. J )
57	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> B = U. J )
58	57	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( B i^i |^| ran g ) = ( U. J i^i |^| ran g ) )
59	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> J e. Top )
60		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> g Fn A )
61		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) )
62		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ y e. A ) -> ( ( A X. { J } ) ` y ) = J )
63	62	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ y e. A ) -> ( ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) <-> ( g ` y ) e. J ) )
64	63	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. Top -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) <-> A. y e. A ( g ` y ) e. J ) )
65	59, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) <-> A. y e. A ( g ` y ) e. J ) )
66	61, 65	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) e. J )
67		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A --> J <-> ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. J ) )
68	60, 66, 67	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> g : A --> J )
69		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : A --> J -> ran g C_ J )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ran g C_ J )
71	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> A e. Fin )
72		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g Fn A <-> g : A -onto-> ran g )
73	60, 72	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> g : A -onto-> ran g )
74		fofi 8252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ g : A -onto-> ran g ) -> ran g e. Fin )
75	71, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ran g e. Fin )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
77	76	rintopn 20714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ran g C_ J /\ ran g e. Fin ) -> ( U. J i^i |^| ran g ) e. J )
78	59, 70, 75, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( U. J i^i |^| ran g ) e. J )
79	58, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( B i^i |^| ran g ) e. J )
80	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> X e. B )
81		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A X. { X } ) = ( y e. A |-> X )
82		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) )
83	81, 82	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( y e. A |-> X ) e. X_ y e. A ( g ` y ) )
84		mptelixpg 7945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Fin -> ( ( y e. A |-> X ) e. X_ y e. A ( g ` y ) <-> A. y e. A X e. ( g ` y ) ) )
85	71, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( ( y e. A |-> X ) e. X_ y e. A ( g ` y ) <-> A. y e. A X e. ( g ` y ) ) )
86	83, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> A. y e. A X e. ( g ` y ) )
87		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( g ` y ) -> ( X e. z <-> X e. ( g ` y ) ) )
88	87	ralrn 6362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g Fn A -> ( A. z e. ran g X e. z <-> A. y e. A X e. ( g ` y ) ) )
89	60, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( A. z e. ran g X e. z <-> A. y e. A X e. ( g ` y ) ) )
90	86, 89	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> A. z e. ran g X e. z )
91		elrint 4518	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. ( B i^i |^| ran g ) <-> ( X e. B /\ A. z e. ran g X e. z ) )
92	80, 90, 91	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> X e. ( B i^i |^| ran g ) )
93	30	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i |^| ran g ) e. _V
94		ixpconstg 7917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ ( B i^i |^| ran g ) e. _V ) -> X_ y e. A ( B i^i |^| ran g ) = ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) )
95	71, 93, 94	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> X_ y e. A ( B i^i |^| ran g ) = ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) )
96		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i |^| ran g ) C_ |^| ran g
97		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g Fn A /\ y e. A ) -> ( g ` y ) e. ran g )
98		intss1 4492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g ` y ) e. ran g -> |^| ran g C_ ( g ` y ) )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g Fn A /\ y e. A ) -> |^| ran g C_ ( g ` y ) )
100	96, 99	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g Fn A /\ y e. A ) -> ( B i^i |^| ran g ) C_ ( g ` y ) )
101	100	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g Fn A -> A. y e. A ( B i^i |^| ran g ) C_ ( g ` y ) )
102		ss2ixp 7921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. A ( B i^i |^| ran g ) C_ ( g ` y ) -> X_ y e. A ( B i^i |^| ran g ) C_ X_ y e. A ( g ` y ) )
103	60, 101, 102	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> X_ y e. A ( B i^i |^| ran g ) C_ X_ y e. A ( g ` y ) )
104	95, 103	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) C_ X_ y e. A ( g ` y ) )
105		ssrab 3680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } <-> ( X_ y e. A ( g ` y ) C_ ( B ^m A ) /\ A. f e. X_ y e. A ( g ` y ) ( G gsumg f ) e. U ) )
106	105	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } -> A. f e. X_ y e. A ( g ` y ) ( G gsumg f ) e. U )
107	106	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> A. f e. X_ y e. A ( g ` y ) ( G gsumg f ) e. U )
108		ssralv 3666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) C_ X_ y e. A ( g ` y ) -> ( A. f e. X_ y e. A ( g ` y ) ( G gsumg f ) e. U -> A. f e. ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) )
109	104, 107, 108	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> A. f e. ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) ( G gsumg f ) e. U )
110		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( B i^i |^| ran g ) -> ( X e. u <-> X e. ( B i^i |^| ran g ) ) )
111		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( B i^i |^| ran g ) -> ( u ^m A ) = ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) )
112	111	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( B i^i |^| ran g ) -> ( A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U <-> A. f e. ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) )
113	110, 112	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( B i^i |^| ran g ) -> ( ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) <-> ( X e. ( B i^i |^| ran g ) /\ A. f e. ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) )
114	113	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B i^i |^| ran g ) e. J /\ ( X e. ( B i^i |^| ran g ) /\ A. f e. ( ( B i^i |^| ran g ) ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) )
115	79, 92, 109, 114	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) )
116	115	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) -> ( ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) )
117	116	3adantr3 1222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) -> ( ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) )
118		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( ( A X. { X } ) e. x <-> ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) ) )
119		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) )
120	118, 119	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) <-> ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) )
121	120	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( ( ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) <-> ( ( ( A X. { X } ) e. X_ y e. A ( g ` y ) /\ X_ y e. A ( g ` y ) C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) ) )
122	117, 121	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) ) -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) ) )
123	122	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> ( ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) ) )
124	123	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> ( ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) ) )
125	124	impd 447	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) )
126	125	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. x ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( A X. { J } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( A X. { J } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) /\ ( ( A X. { X } ) e. x /\ x C_ { f e. ( B ^m A ) | ( G gsumg f ) e. U } ) ) -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) ) )
127	54, 126	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. J ( X e. u /\ A. f e. ( u ^m A ) ( G gsumg f ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   #chash 13117   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   ^ko cxko 21364  TopMndctmd 21874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-rest 16083  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-xko 21366  df-tmd 21876

This theorem is referenced by:  tsmsxp  21958