Theorem salgencntex 40561

Description: This counterexample shows that df-salgen 40533 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencntex.a	|- A = ( 0 [,] 2 )
salgencntex.s	|- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }
salgencntex.b	|- B = ( 0 [,] 1 )
salgencntex.t	|- T = ~P B
salgencntex.c	|- C = ( S i^i T )
salgencntex.z	|- Z = |^| { s e. SAlg | C C_ s }

Assertion

Ref	Expression
salgencntex	|- -. Z e. SAlg

Distinct variable groups:   x, A   x, B   C, s   S, s   x, S   T, s

Allowed substitution hints:   A( s)   B( s)   C( x)   T( x)   Z( x, s)

Proof of Theorem salgencntex

Dummy variables t y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluni 40544	. 2 |- ( Z e. SAlg -> U. Z e. Z )
2		salgencntex.z	. . . . . . . 8 |- Z = |^| { s e. SAlg | C C_ s }
3		salgencntex.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ~P B
4		salgencntex.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( 0 [,] 1 )
5		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
6	4, 5	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. _V
7		pwsal 40535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> ~P B e. SAlg )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P B e. SAlg
9	3, 8	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- T e. SAlg
10		salgencntex.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( S i^i T )
11		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S i^i T ) C_ T
12	10, 11	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 |- C C_ T
13	9, 12	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. SAlg /\ C C_ T )
14		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = T -> ( C C_ s <-> C C_ T ) )
15	14	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. { s e. SAlg | C C_ s } <-> ( T e. SAlg /\ C C_ T ) )
16	13, 15	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- T e. { s e. SAlg | C C_ s }
17		intss1 4492	. . . . . . . . 9 |- ( T e. { s e. SAlg | C C_ s } -> |^| { s e. SAlg | C C_ s } C_ T )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- |^| { s e. SAlg | C C_ s } C_ T
19	2, 18	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- Z C_ T
20	19	unissi 4461	. . . . . 6 |- U. Z C_ U. T
21	3	unieqi 4445	. . . . . . 7 |- U. T = U. ~P B
22		unipw 4918	. . . . . . 7 |- U. ~P B = B
23	21, 22	eqtri 2644	. . . . . 6 |- U. T = B
24	20, 23	sseqtri 3637	. . . . 5 |- U. Z C_ B
25		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = t -> ( C C_ s <-> C C_ t ) )
26	25	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { s e. SAlg | C C_ s } <-> ( t e. SAlg /\ C C_ t ) )
27	26	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. { s e. SAlg | C C_ s } -> ( t e. SAlg /\ C C_ t ) )
28	27	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. { s e. SAlg | C C_ s } -> C C_ t )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ t e. { s e. SAlg | C C_ s } ) -> C C_ t )
30		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. B -> 0 e. RR )
31		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. B -> 2 e. RR )
33		unitssre 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. B -> y e. B )
35	34, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. B -> y e. ( 0 [,] 1 ) )
36	33, 35	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. B -> y e. RR )
37	30	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. B -> 0 e. RR* )
38		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
39	38	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. RR*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. B -> 1 e. RR* )
41		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ y )
42	37, 40, 35, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. B -> 0 <_ y )
43	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. B -> 1 e. RR )
44		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y <_ 1 )
45	37, 40, 35, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. B -> y <_ 1 )
46		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 <_ 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. B -> 1 <_ 2 )
48	36, 43, 32, 45, 47	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. B -> y <_ 2 )
49	30, 32, 36, 42, 48	eliccd 39726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. B -> y e. ( 0 [,] 2 ) )
50		salgencntex.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A = ( 0 [,] 2 )
51	49, 50	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. B -> y e. A )
52		snelpwi 4912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. B -> { y } e. ~P A )
54		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { y } e. Fin
55		fict 8550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( { y } e. Fin -> { y } ~<_ om )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { y } ~<_ om
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. B -> { y } ~<_ om )
58		orc 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { y } ~<_ om -> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. B -> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
60	53, 59	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. B -> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
61		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = { y } -> ( x ~<_ om <-> { y } ~<_ om ) )
62		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = { y } -> ( A \ x ) = ( A \ { y } ) )
63	62	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = { y } -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
64	61, 63	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = { y } -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
65		salgencntex.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }
66	64, 65	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { y } e. S <-> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
67	60, 66	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. B -> { y } e. S )
68		snelpwi 4912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. B -> { y } e. ~P B )
69	68, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. B -> { y } e. T )
70	67, 69	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> { y } e. ( S i^i T ) )
71	10	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S i^i T ) = C
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> ( S i^i T ) = C )
73	70, 72	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> { y } e. C )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ t e. { s e. SAlg | C C_ s } ) -> { y } e. C )
75	29, 74	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. B /\ t e. { s e. SAlg | C C_ s } ) -> { y } e. t )
76	75	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B -> A. t e. { s e. SAlg | C C_ s } { y } e. t )
77		snex 4908	. . . . . . . . . . . 12 |- { y } e. _V
78	77	elint2 4482	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y } e. |^| { s e. SAlg | C C_ s } <-> A. t e. { s e. SAlg | C C_ s } { y } e. t )
79	76, 78	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> { y } e. |^| { s e. SAlg | C C_ s } )
80	79, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> { y } e. Z )
81		snidg 4206	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. { y } )
82		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { y } -> ( y e. w <-> y e. { y } ) )
83	82	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y } e. Z /\ y e. { y } ) -> E. w e. Z y e. w )
84	80, 81, 83	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> E. w e. Z y e. w )
85		eluni2 4440	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. Z <-> E. w e. Z y e. w )
86	84, 85	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> y e. U. Z )
87	86	rgen 2922	. . . . . 6 |- A. y e. B y e. U. Z
88		dfss3 3592	. . . . . 6 |- ( B C_ U. Z <-> A. y e. B y e. U. Z )
89	87, 88	mpbir 221	. . . . 5 |- B C_ U. Z
90	24, 89	eqssi 3619	. . . 4 |- U. Z = B
91		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 2 ) e. _V
92	50, 91	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> A e. _V )
94	93, 65	salexct 40552	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> S e. SAlg )
95	94	trud 1493	. . . . . . . . . 10 |- S e. SAlg
96		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( S i^i T ) C_ S
97	10, 96	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- C C_ S
98	95, 97	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( S e. SAlg /\ C C_ S )
99		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( C C_ s <-> C C_ S ) )
100	99	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( S e. { s e. SAlg | C C_ s } <-> ( S e. SAlg /\ C C_ S ) )
101	98, 100	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- S e. { s e. SAlg | C C_ s }
102		intss1 4492	. . . . . . . 8 |- ( S e. { s e. SAlg | C C_ s } -> |^| { s e. SAlg | C C_ s } C_ S )
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- |^| { s e. SAlg | C C_ s } C_ S
104	2, 103	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- Z C_ S
105	104	sseli 3599	. . . . 5 |- ( B e. Z -> B e. S )
106	50, 65, 4	salexct2 40557	. . . . . 6 |- -. B e. S
107	106	a1i 11	. . . . 5 |- ( B e. Z -> -. B e. S )
108	105, 107	pm2.65i 185	. . . 4 |- -. B e. Z
109	90, 108	eqneltri 39246	. . 3 |- -. U. Z e. Z
110	109	a1i 11	. 2 |- ( Z e. SAlg -> -. U. Z e. Z )
111	1, 110	pm2.65i 185	1 |- -. Z e. SAlg

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   2c2 11070   [,]cicc 12178  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-salg 40529

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