Theorem nmhmplusg 22561

Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmhmplusg.p	|- .+ = ( +g ` T )

Assertion

Ref	Expression
nmhmplusg	|- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S NMHom T ) )

Proof of Theorem nmhmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl1 22551	. . 3 |- ( F e. ( S NMHom T ) -> S e. NrmMod )
2		nmhmrcl2 22552	. . 3 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> T e. NrmMod )
3	1, 2	anim12i 590	. 2 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) )
4		nmhmlmhm 22553	. . . 4 |- ( F e. ( S NMHom T ) -> F e. ( S LMHom T ) )
5		nmhmlmhm 22553	. . . 4 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S LMHom T ) )
6		nmhmplusg.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` T )
7	6	lmhmplusg 19044	. . . 4 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S LMHom T ) )
8	4, 5, 7	syl2an 494	. . 3 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S LMHom T ) )
9		nlmlmod 22482	. . . . . 6 |- ( T e. NrmMod -> T e. LMod )
10		lmodabl 18910	. . . . . 6 |- ( T e. LMod -> T e. Abel )
11	2, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> T e. Abel )
12	11	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> T e. Abel )
13		nmhmnghm 22554	. . . . 5 |- ( F e. ( S NMHom T ) -> F e. ( S NGHom T ) )
14	13	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
15		nmhmnghm 22554	. . . . 5 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S NGHom T ) )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> G e. ( S NGHom T ) )
17	6	nghmplusg 22544	. . . 4 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S NGHom T ) )
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S NGHom T ) )
19	8, 18	jca 554	. 2 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( ( F oF .+ G ) e. ( S LMHom T ) /\ ( F oF .+ G ) e. ( S NGHom T ) ) )
20		isnmhm 22550	. 2 |- ( ( F oF .+ G ) e. ( S NMHom T ) <-> ( ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) /\ ( ( F oF .+ G ) e. ( S LMHom T ) /\ ( F oF .+ G ) e. ( S NGHom T ) ) ) )
21	3, 19, 20	sylanbrc 698	1 |- ( ( F e. ( S NMHom T ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S NMHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   +g cplusg 15941   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LMHom clmhm 19019  NrmModcnlm 22385   NGHom cnghm 22510   NMHom cnmhm 22511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-nmo 22512  df-nghm 22513  df-nmhm 22514

This theorem is referenced by: (None)