Theorem retopbas 22564

Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
retopbas	|- ran (,) e. TopBases

Proof of Theorem retopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 12271	. . . . 5 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2	1	fdmi 6052	. . . 4 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
3	2	imaeq2i 5464	. . 3 |- ( (,) " dom (,) ) = ( (,) " ( RR* X. RR* ) )
4		imadmrn 5476	. . 3 |- ( (,) " dom (,) ) = ran (,)
5	3, 4	eqtr3i 2646	. 2 |- ( (,) " ( RR* X. RR* ) ) = ran (,)
6		ssid 3624	. . 3 |- RR* C_ RR*
7	6	qtopbaslem 22562	. 2 |- ( (,) " ( RR* X. RR* ) ) e. TopBases
8	5, 7	eqeltrri 2698	1 |- ran (,) e. TopBases

Syntax hints:   e. wcel 1990   ~Pcpw 4158   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   RRcr 9935   RR*cxr 10073   (,)cioo 12175   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  retop  22565  uniretop  22566  iooretop  22569  qdensere  22573  tgioo  22599  xrtgioo  22609  bndth  22757  ovolicc2  23290  cncombf  23425  cnmbf  23426  elmbfmvol2  30329  iccllysconn  31232  rellysconn  31233  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ismblfin  33450  cnambfre  33458