MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regr1lem2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem regr1lem2 21543
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
Assertion
Ref Expression
regr1lem2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> (KQ ` J ) e. Haus )
Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y
Allowed substitution hints:   F( x, y)
Proof of Theorem regr1lem2
Dummy variables m n w z a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
2 simplll 798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> J e. Reg )
4 simplrl 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> z e. X )
5 simplrr 801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> w e. X )
6 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> a e. J )
7 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7regr1lem 21542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( z e. a -> w e. a ) )
9 3ancoma 1045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
10 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m i^i n ) = ( n i^i m )
1110eqeq1i 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m i^i n ) = (/) <-> ( n i^i m ) = (/) )
12113anbi3i 1255 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )
139, 12bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )
14132rexbii 3042 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )
15 rexcom 3099 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) <-> E. n e. (KQ ` J ) E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )
1614, 15bitri 264 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> E. n e. (KQ ` J ) E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )
177, 16sylnib 318 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> -. E. n e. (KQ ` J ) E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` w ) e. n /\ ( F ` z ) e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )
181, 2, 3, 5, 4, 6, 17regr1lem 21542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( w e. a -> z e. a ) )
198, 18impbid 202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ ( a e. J /\ -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( z e. a <-> w e. a ) )
2019expr 643 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ a e. J ) -> ( -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> ( z e. a <-> w e. a ) ) )
2120ralrimdva 2969 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> A. a e. J ( z e. a <-> w e. a ) ) )
221kqfeq 21527 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) ) )
23 elequ2 2004 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = a -> ( z e. y <-> z e. a ) )
24 elequ2 2004 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = a -> ( w e. y <-> w e. a ) )
2523, 24bibi12d 335 . . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( ( z e. y <-> w e. y ) <-> ( z e. a <-> w e. a ) ) )
2625cbvralv 3171 . . . . . . . . 9 |- ( A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) <-> A. a e. J ( z e. a <-> w e. a ) )
2722, 26syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. a e. J ( z e. a <-> w e. a ) ) )
28273expb 1266 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. a e. J ( z e. a <-> w e. a ) ) )
2928adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. a e. J ( z e. a <-> w e. a ) ) )
3021, 29sylibrd 249 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
3130necon1ad 2811 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) =/= ( F ` w ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
3231ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> A. z e. X A. w e. X ( ( F ` z ) =/= ( F ` w ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
331kqffn 21528 . . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F Fn X )
3433adantr 481 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> F Fn X )
35 neeq1 2856 . . . . . . . 8 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a =/= b <-> ( F ` z ) =/= b ) )
36 eleq1 2689 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a e. m <-> ( F ` z ) e. m ) )
37363anbi1d 1403 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
38372rexbidv 3057 . . . . . . . 8 |- ( a = ( F ` z ) -> ( E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
3935, 38imbi12d 334 . . . . . . 7 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> ( ( F ` z ) =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
4039ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( a = ( F ` z ) -> ( A. b e. ran F ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. b e. ran F ( ( F ` z ) =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
4140ralrn 6362 . . . . 5 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. z e. X A. b e. ran F ( ( F ` z ) =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
42 neeq2 2857 . . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( F ` z ) =/= b <-> ( F ` z ) =/= ( F ` w ) ) )
43 eleq1 2689 . . . . . . . . . 10 |- ( b = ( F ` w ) -> ( b e. n <-> ( F ` w ) e. n ) )
44433anbi2d 1404 . . . . . . . . 9 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
45442rexbidv 3057 . . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` w ) -> ( E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
4642, 45imbi12d 334 . . . . . . 7 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( ( F ` z ) =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> ( ( F ` z ) =/= ( F ` w ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
4746ralrn 6362 . . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. b e. ran F ( ( F ` z ) =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. w e. X ( ( F ` z ) =/= ( F ` w ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
4847ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( F Fn X -> ( A. z e. X A. b e. ran F ( ( F ` z ) =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. z e. X A. w e. X ( ( F ` z ) =/= ( F ` w ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
4941, 48bitrd 268 . . . 4 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. z e. X A. w e. X ( ( F ` z ) =/= ( F ` w ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
5034, 49syl 17 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. z e. X A. w e. X ( ( F ` z ) =/= ( F ` w ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( F ` w ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
5132, 50mpbird 247 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> A. a e. ran F A. b e. ran F ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
521kqtopon 21530 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
5352adantr 481 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
54 ishaus2 21155 . . 3 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ( (KQ ` J ) e. Haus <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
5553, 54syl 17 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> ( (KQ ` J ) e. Haus <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( a =/= b -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( a e. m /\ b e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
5651, 55mpbird 247 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> (KQ ` J ) e. Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  TopOnctopon 20715   Hauscha 21112   Regcreg 21113  KQckq 21496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cls 20825  df-haus 21119  df-reg 21120  df-kq 21497
This theorem is referenced by:  regr1  21553
  Copyright terms: Public domain W3C validator