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Theorem regr1lem 21542
Description: Lemma for regr1 21553. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kqval.2 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
regr1lem.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
regr1lem.3 |- ( ph -> J e. Reg )
regr1lem.4 |- ( ph -> A e. X )
regr1lem.5 |- ( ph -> B e. X )
regr1lem.6 |- ( ph -> U e. J )
regr1lem.7 |- ( ph -> -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` A ) e. m /\ ( F ` B ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
Assertion
Ref Expression
regr1lem |- ( ph -> ( A e. U -> B e. U ) )
Distinct variable groups:   m, n, x, y, A   B, m, n, x, y   m, J, n, x, y   m, F, n   m, X, n, x, y
Allowed substitution hints:   ph( x, y, m, n)   U( x, y, m, n)   F( x, y)
Proof of Theorem regr1lem
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regr1lem.3 . . . . 5 |- ( ph -> J e. Reg )
21adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ A e. U ) -> J e. Reg )
3 regr1lem.6 . . . . 5 |- ( ph -> U e. J )
43adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ A e. U ) -> U e. J )
5 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ph /\ A e. U ) -> A e. U )
6 regsep 21138 . . . 4 |- ( ( J e. Reg /\ U e. J /\ A e. U ) -> E. z e. J ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ph /\ A e. U ) -> E. z e. J ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) )
8 regr1lem.7 . . . . 5 |- ( ph -> -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` A ) e. m /\ ( F ` B ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
98ad2antrr 762 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) -> -. E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` A ) e. m /\ ( F ` B ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
10 regr1lem.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
1110ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> J e. (TopOn ` X ) )
12 simplrl 800 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> z e. J )
13 kqval.2 . . . . . . . 8 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
1413kqopn 21537 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J ) -> ( F " z ) e. (KQ ` J ) )
1511, 12, 14syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( F " z ) e. (KQ ` J ) )
16 toponuni 20719 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> X = U. J )
1817difeq1d 3727 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) = ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) )
19 topontop 20718 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> J e. Top )
21 elssuni 4467 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. J -> z C_ U. J )
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> z C_ U. J )
23 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
2423clscld 20851 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ z C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` z ) e. ( Clsd ` J ) )
2520, 22, 24syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( ( cls ` J ) ` z ) e. ( Clsd ` J ) )
2623cldopn 20835 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` z ) e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) e. J )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) e. J )
2818, 27eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) e. J )
2913kqopn 21537 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) e. J ) -> ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) e. (KQ ` J ) )
3011, 28, 29syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) e. (KQ ` J ) )
31 simprrl 804 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) -> A e. z )
3231adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> A e. z )
33 regr1lem.4 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. X )
3433ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> A e. X )
3513kqfvima 21533 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J /\ A e. X ) -> ( A e. z <-> ( F ` A ) e. ( F " z ) ) )
3611, 12, 34, 35syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( A e. z <-> ( F ` A ) e. ( F " z ) ) )
3732, 36mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( F ` A ) e. ( F " z ) )
38 regr1lem.5 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. X )
3938ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> B e. X )
40 simprrr 805 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U )
4140sseld 3602 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) -> ( B e. ( ( cls ` J ) ` z ) -> B e. U ) )
4241con3dimp 457 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> -. B e. ( ( cls ` J ) ` z ) )
4339, 42eldifd 3585 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> B e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) )
4413kqfvima 21533 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) e. J /\ B e. X ) -> ( B e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) <-> ( F ` B ) e. ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) )
4511, 28, 39, 44syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( B e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) <-> ( F ` B ) e. ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) )
4643, 45mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( F ` B ) e. ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) )
4723sscls 20860 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ z C_ U. J ) -> z C_ ( ( cls ` J ) ` z ) )
4820, 22, 47syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> z C_ ( ( cls ` J ) ` z ) )
4948sscond 3747 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) C_ ( X \ z ) )
50 imass2 5501 . . . . . . . 8 |- ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) C_ ( X \ z ) -> ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) C_ ( F " ( X \ z ) ) )
51 sslin 3839 . . . . . . . 8 |- ( ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) C_ ( F " ( X \ z ) ) -> ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) C_ ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ z ) ) ) )
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) C_ ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ z ) ) ) )
5313kqdisj 21535 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J ) -> ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ z ) ) ) = (/) )
5411, 12, 53syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ z ) ) ) = (/) )
55 sseq0 3975 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) C_ ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ z ) ) ) /\ ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ z ) ) ) = (/) ) -> ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) = (/) )
5652, 54, 55syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) = (/) )
57 eleq2 2690 . . . . . . . 8 |- ( m = ( F " z ) -> ( ( F ` A ) e. m <-> ( F ` A ) e. ( F " z ) ) )
58 ineq1 3807 . . . . . . . . 9 |- ( m = ( F " z ) -> ( m i^i n ) = ( ( F " z ) i^i n ) )
5958eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( m = ( F " z ) -> ( ( m i^i n ) = (/) <-> ( ( F " z ) i^i n ) = (/) ) )
6057, 593anbi13d 1401 . . . . . . 7 |- ( m = ( F " z ) -> ( ( ( F ` A ) e. m /\ ( F ` B ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( ( F ` A ) e. ( F " z ) /\ ( F ` B ) e. n /\ ( ( F " z ) i^i n ) = (/) ) ) )
61 eleq2 2690 . . . . . . . 8 |- ( n = ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) -> ( ( F ` B ) e. n <-> ( F ` B ) e. ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) )
62 ineq2 3808 . . . . . . . . 9 |- ( n = ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) -> ( ( F " z ) i^i n ) = ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) )
6362eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( n = ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) -> ( ( ( F " z ) i^i n ) = (/) <-> ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) = (/) ) )
6461, 633anbi23d 1402 . . . . . . 7 |- ( n = ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) -> ( ( ( F ` A ) e. ( F " z ) /\ ( F ` B ) e. n /\ ( ( F " z ) i^i n ) = (/) ) <-> ( ( F ` A ) e. ( F " z ) /\ ( F ` B ) e. ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) /\ ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) = (/) ) ) )
6560, 64rspc2ev 3324 . . . . . 6 |- ( ( ( F " z ) e. (KQ ` J ) /\ ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` A ) e. ( F " z ) /\ ( F ` B ) e. ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) /\ ( ( F " z ) i^i ( F " ( X \ ( ( cls ` J ) ` z ) ) ) ) = (/) ) ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` A ) e. m /\ ( F ` B ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
6615, 30, 37, 46, 56, 65syl113anc 1338 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) /\ -. B e. U ) -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` A ) e. m /\ ( F ` B ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
6766ex 450 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) -> ( -. B e. U -> E. m e. (KQ ` J ) E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` A ) e. m /\ ( F ` B ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
689, 67mt3d 140 . . 3 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ U ) ) ) -> B e. U )
697, 68rexlimddv 3035 . 2 |- ( ( ph /\ A e. U ) -> B e. U )
7069ex 450 1 |- ( ph -> ( A e. U -> B e. U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   "cima 5117   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Regcreg 21113  KQckq 21496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cls 20825  df-reg 21120  df-kq 21497
This theorem is referenced by:  regr1lem2  21543
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