Theorem restfpw 20983

Description: The restriction of the set of finite subsets of A is the set of finite subsets of B. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restfpw	|- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) = ( ~P B i^i Fin ) )

Proof of Theorem restfpw

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4850	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ~P A e. _V )
3		inex1g 4801	. . . . 5 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
5		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ A e. V ) -> B e. _V )
6	5	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> B e. _V )
7		restval 16087	. . . 4 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) = ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) = ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) ) )
9		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( x i^i B ) C_ B
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x i^i B ) C_ B )
11		elfpw 8268	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x C_ A /\ x e. Fin ) )
12	11	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
14		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( x i^i B ) C_ x
15		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ ( x i^i B ) C_ x ) -> ( x i^i B ) e. Fin )
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x i^i B ) e. Fin )
17		elfpw 8268	. . . . . 6 |- ( ( x i^i B ) e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( ( x i^i B ) C_ B /\ ( x i^i B ) e. Fin ) )
18	10, 16, 17	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x i^i B ) e. ( ~P B i^i Fin ) )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) )
20	18, 19	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> ( ~P B i^i Fin ) )
21		frn 6053	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> ( ~P B i^i Fin ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) ) C_ ( ~P B i^i Fin ) )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( x i^i B ) ) C_ ( ~P B i^i Fin ) )
23	8, 22	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) C_ ( ~P B i^i Fin ) )
24		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( x C_ B /\ x e. Fin ) )
25	24	simplbi 476	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P B i^i Fin ) -> x C_ B )
26	25	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> x C_ B )
27		df-ss 3588	. . . . . 6 |- ( x C_ B <-> ( x i^i B ) = x )
28	26, 27	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> ( x i^i B ) = x )
29	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
30	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> B e. _V )
31		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> B C_ A )
32	26, 31	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> x C_ A )
33	24	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P B i^i Fin ) -> x e. Fin )
34	33	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
35	32, 34, 11	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
36		elrestr 16089	. . . . . 6 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V /\ B e. _V /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x i^i B ) e. ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) )
37	29, 30, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> ( x i^i B ) e. ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) )
38	28, 37	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B C_ A ) /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> x e. ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) )
39	38	ex 450	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) -> x e. ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) ) )
40	39	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P B i^i Fin ) C_ ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) )
41	23, 40	eqssd 3620	1 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) ↾t B ) = ( ~P B i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   ↾_t crest 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-rest 16083

This theorem is referenced by: (None)