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Theorem sigarmf 41043
Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar |- G = ( x e. CC , y e. CC |-> ( Im ` ( ( * ` x ) x. y ) ) )
Assertion
Ref Expression
sigarmf |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) G B ) = ( ( A G B ) - ( C G B ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y
Allowed substitution hints:   G( x, y)
Proof of Theorem sigarmf
StepHypRef Expression
1 cjsub 13889 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( * ` ( A - C ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` C ) ) )
21oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( * ` ( A - C ) ) x. B ) = ( ( ( * ` A ) - ( * ` C ) ) x. B ) )
323adant2 1080 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( * ` ( A - C ) ) x. B ) = ( ( ( * ` A ) - ( * ` C ) ) x. B ) )
4 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A e. CC )
54cjcld 13936 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( * ` A ) e. CC )
6 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> C e. CC )
76cjcld 13936 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( * ` C ) e. CC )
8 simp2 1062 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> B e. CC )
95, 7, 8subdird 10487 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( * ` A ) - ( * ` C ) ) x. B ) = ( ( ( * ` A ) x. B ) - ( ( * ` C ) x. B ) ) )
103, 9eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( * ` ( A - C ) ) x. B ) = ( ( ( * ` A ) x. B ) - ( ( * ` C ) x. B ) ) )
1110fveq2d 6195 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( Im ` ( ( * ` ( A - C ) ) x. B ) ) = ( Im ` ( ( ( * ` A ) x. B ) - ( ( * ` C ) x. B ) ) ) )
125, 8mulcld 10060 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. B ) e. CC )
137, 8mulcld 10060 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( * ` C ) x. B ) e. CC )
1412, 13imsubd 13957 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( Im ` ( ( ( * ` A ) x. B ) - ( ( * ` C ) x. B ) ) ) = ( ( Im ` ( ( * ` A ) x. B ) ) - ( Im ` ( ( * ` C ) x. B ) ) ) )
1511, 14eqtrd 2656 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( Im ` ( ( * ` ( A - C ) ) x. B ) ) = ( ( Im ` ( ( * ` A ) x. B ) ) - ( Im ` ( ( * ` C ) x. B ) ) ) )
164, 6subcld 10392 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - C ) e. CC )
17 sigar . . . 4 |- G = ( x e. CC , y e. CC |-> ( Im ` ( ( * ` x ) x. y ) ) )
1817sigarval 41039 . . 3 |- ( ( ( A - C ) e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) G B ) = ( Im ` ( ( * ` ( A - C ) ) x. B ) ) )
1916, 8, 18syl2anc 693 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) G B ) = ( Im ` ( ( * ` ( A - C ) ) x. B ) ) )
2017sigarval 41039 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A G B ) = ( Im ` ( ( * ` A ) x. B ) ) )
21203adant3 1081 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A G B ) = ( Im ` ( ( * ` A ) x. B ) ) )
22 3simpc 1060 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B e. CC /\ C e. CC ) )
2322ancomd 467 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( C e. CC /\ B e. CC ) )
2417sigarval 41039 . . . 4 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C G B ) = ( Im ` ( ( * ` C ) x. B ) ) )
2523, 24syl 17 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( C G B ) = ( Im ` ( ( * ` C ) x. B ) ) )
2621, 25oveq12d 6668 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A G B ) - ( C G B ) ) = ( ( Im ` ( ( * ` A ) x. B ) ) - ( Im ` ( ( * ` C ) x. B ) ) ) )
2715, 19, 263eqtr4d 2666 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) G B ) = ( ( A G B ) - ( C G B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   x. cmul 9941   - cmin 10266   *ccj 13836   Imcim 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841
This theorem is referenced by:  sigarms  41045  sigarexp  41048  sigaradd  41055
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