sornom - Metamath Proof Explorer

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Theorem sornom 9099

Description: The range of a single-step monotone function from

into a partially ordered set is a chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
sornom	$/\$ $\/$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem sornom Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1063	. 2 $/\$ $\/$ $/\$
2		fvelrnb 6243	. . . . . 6
3		fvelrnb 6243	. . . . . 6
4	2, 3	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$
5	4	3ad2ant1 1082	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
6		reeanv 3107	. . . . 5 $/\$ $/\$
7		nnord 7073	. . . . . . . . . . 11
8		nnord 7073	. . . . . . . . . . 11
9		ordtri2or2 5823	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$
11	10	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
12		vex 3203	. . . . . . . . . . 11
13		vex 3203	. . . . . . . . . . 11
14		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14
15		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14
16	14, 15	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
18		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	19, 20	breqan12d 4669	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
22	19, 20	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
23	21, 22	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $\/$
24	18, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
25	17, 24	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27	26	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	26	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	27, 28	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
30	29	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32	31	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	31	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	32, 33	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
35	34	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	36	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	36	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	37, 38	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	41	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	41	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	42, 43	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
45	44	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	46	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$
48	47	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
49		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
50		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54	51, 53	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55	51, 53	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	54, 55	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$ $\/$
57	56	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$ $\/$
58	49, 50, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
59		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
63	60, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
66	60, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		peano2 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
68	67	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
70	60, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		potr 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	59, 63, 66, 70, 71	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
76	75	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
77		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79		orc 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\/$
80	78, 79	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\/$
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
82	76, 81	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
83	82	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
84		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
85		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
86	84, 85	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\/$ $\/$
87	86	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\/$ $\/$
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
89	83, 88	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
90	89	3adantr2 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
91	58, 90	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
92	91	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
93	92	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
94	30, 35, 40, 45, 48, 93	findsg 7093	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95	94	ancom1s 847	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
96	95	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
97	96	expr 643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
98	12, 13, 25, 97	vtocl2 3261	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
99		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15
100		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15
101	99, 100	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
103		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	104, 105	breqan12d 4669	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
107	104, 105	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	106, 107	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $\/$
109	103, 108	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $\/$
110	102, 109	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
111	13, 12, 110, 97	vtocl2 3261	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
112	111	ancom2s 844	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
113	98, 112	orim12d 883	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
114	11, 113	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
115		3mix1 1230	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
116		3mix2 1231	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
117	115, 116	jaoi 394	. . . . . . . . 9 $\/$ $\/$ $\/$
118		3mix3 1232	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
119	116	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
120	118, 119	jaoi 394	. . . . . . . . 9 $\/$ $\/$ $\/$
121	117, 120	jaoi 394	. . . . . . . 8 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
122	114, 121	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
123		breq12 4658	. . . . . . . 8 $/\$
124		eqeq12 2635	. . . . . . . 8 $/\$
125		breq12 4658	. . . . . . . . 9 $/\$
126	125	ancoms 469	. . . . . . . 8 $/\$
127	123, 124, 126	3orbi123d 1398	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
128	122, 127	syl5ibcom 235	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
129	128	rexlimdvva 3038	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
130	6, 129	syl5bir 233	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
131	5, 130	sylbid 230	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
132	131	ralrimivv 2970	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
133		df-so 5036	. 2 $/\$ $\/$ $\/$
134	1, 132, 133	sylanbrc 698	1 $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

wss 3574 class class class wbr 4653

wpo 5033

wor 5034

crn 5115

word 5722

csuc 5725

wfn 5883

cfv 5888

com 7065

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-fv 5896 df-om 7066

This theorem is referenced by: fin23lem40 9173

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