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Theorem ssufl 21722
Description: If Y is a subset of X and filters extend to ultrafilters in X, then they still do in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssufl |- ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) -> Y e. UFL )
Proof of Theorem ssufl
Dummy variables f g u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 790 . . . . 5 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> X e. UFL )
2 filfbas 21652 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( Fil ` Y ) -> f e. ( fBas ` Y ) )
32adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> f e. ( fBas ` Y ) )
4 filsspw 21655 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( Fil ` Y ) -> f C_ ~P Y )
54adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> f C_ ~P Y )
6 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> Y C_ X )
7 sspwb 4917 . . . . . . . . 9 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
86, 7sylib 208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> ~P Y C_ ~P X )
95, 8sstrd 3613 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> f C_ ~P X )
10 fbasweak 21669 . . . . . . 7 |- ( ( f e. ( fBas ` Y ) /\ f C_ ~P X /\ X e. UFL ) -> f e. ( fBas ` X ) )
113, 9, 1, 10syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> f e. ( fBas ` X ) )
12 fgcl 21682 . . . . . 6 |- ( f e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen f ) e. ( Fil ` X ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> ( X filGen f ) e. ( Fil ` X ) )
14 ufli 21718 . . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ ( X filGen f ) e. ( Fil ` X ) ) -> E. u e. ( UFil ` X ) ( X filGen f ) C_ u )
151, 13, 14syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> E. u e. ( UFil ` X ) ( X filGen f ) C_ u )
16 ssfg 21676 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( fBas ` X ) -> f C_ ( X filGen f ) )
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> f C_ ( X filGen f ) )
1817adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> f C_ ( X filGen f ) )
19 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> ( X filGen f ) C_ u )
2018, 19sstrd 3613 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> f C_ u )
21 filtop 21659 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( Fil ` Y ) -> Y e. f )
2221ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> Y e. f )
2320, 22sseldd 3604 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> Y e. u )
24 simprl 794 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> u e. ( UFil ` X ) )
256adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> Y C_ X )
26 trufil 21714 . . . . . . 7 |- ( ( u e. ( UFil ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( u ↾t Y ) e. ( UFil ` Y ) <-> Y e. u ) )
2724, 25, 26syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> ( ( u ↾t Y ) e. ( UFil ` Y ) <-> Y e. u ) )
2823, 27mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> ( u ↾t Y ) e. ( UFil ` Y ) )
295adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> f C_ ~P Y )
30 restid2 16091 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. f /\ f C_ ~P Y ) -> ( f ↾t Y ) = f )
3122, 29, 30syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> ( f ↾t Y ) = f )
32 ssrest 20980 . . . . . . 7 |- ( ( u e. ( UFil ` X ) /\ f C_ u ) -> ( f ↾t Y ) C_ ( u ↾t Y ) )
3324, 20, 32syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> ( f ↾t Y ) C_ ( u ↾t Y ) )
3431, 33eqsstr3d 3640 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> f C_ ( u ↾t Y ) )
35 sseq2 3627 . . . . . 6 |- ( g = ( u ↾t Y ) -> ( f C_ g <-> f C_ ( u ↾t Y ) ) )
3635rspcev 3309 . . . . 5 |- ( ( ( u ↾t Y ) e. ( UFil ` Y ) /\ f C_ ( u ↾t Y ) ) -> E. g e. ( UFil ` Y ) f C_ g )
3728, 34, 36syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( u e. ( UFil ` X ) /\ ( X filGen f ) C_ u ) ) -> E. g e. ( UFil ` Y ) f C_ g )
3815, 37rexlimddv 3035 . . 3 |- ( ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) /\ f e. ( Fil ` Y ) ) -> E. g e. ( UFil ` Y ) f C_ g )
3938ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) -> A. f e. ( Fil ` Y ) E. g e. ( UFil ` Y ) f C_ g )
40 ssexg 4804 . . . 4 |- ( ( Y C_ X /\ X e. UFL ) -> Y e. _V )
4140ancoms 469 . . 3 |- ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
42 isufl 21717 . . 3 |- ( Y e. _V -> ( Y e. UFL <-> A. f e. ( Fil ` Y ) E. g e. ( UFil ` Y ) f C_ g ) )
4341, 42syl 17 . 2 |- ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) -> ( Y e. UFL <-> A. f e. ( Fil ` Y ) E. g e. ( UFil ` Y ) f C_ g ) )
4439, 43mpbird 247 1 |- ( ( X e. UFL /\ Y C_ X ) -> Y e. UFL )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   UFilcufil 21703  UFLcufl 21704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705  df-ufl 21706
This theorem is referenced by:  ufldom  21766
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