Theorem stoweidlem27 40244

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here ( q ` i ) is used to represent p_(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem27.1	|- G = ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
stoweidlem27.2	|- ( ph -> Q e. _V )
stoweidlem27.3	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem27.4	|- ( ph -> Y Fn ran G )
stoweidlem27.5	|- ( ph -> ran G e. _V )
stoweidlem27.6	|- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. l )
stoweidlem27.7	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G )
stoweidlem27.8	|- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. X )
stoweidlem27.9	|- F/ t ph
stoweidlem27.10	|- F/ w ph
stoweidlem27.11	|- F/_ h Q

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem27	|- ( ph -> E. q ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   h, i, t, w, F   h, l, Y, t, w   T, h, w   i, q, t, F   i, G   i, M, q   i, X, w   i, Y, q   ph, i   Q, l   ph, l   G, l   Q, q   T, q   U, q   w, M   w, Q   w, U

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h, q)   Q( t, h, i)   T( t, i, l)   U( t, h, i, l)   F( l)   G( w, t, h, q)   M( t, h, l)   X( t, h, q, l)

Proof of Theorem stoweidlem27

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem27.4	. . . 4 |- ( ph -> Y Fn ran G )
2		stoweidlem27.5	. . . 4 |- ( ph -> ran G e. _V )
3		fnex 6481	. . . 4 |- ( ( Y Fn ran G /\ ran G e. _V ) -> Y e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> Y e. _V )
5		stoweidlem27.7	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G )
6		f1ofn 6138	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G -> F Fn ( 1 ... M ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F Fn ( 1 ... M ) )
8		ovex 6678	. . . 4 |- ( 1 ... M ) e. _V
9		fnex 6481	. . . 4 |- ( ( F Fn ( 1 ... M ) /\ ( 1 ... M ) e. _V ) -> F e. _V )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
11		coexg 7117	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ F e. _V ) -> ( Y o. F ) e. _V )
12	4, 10, 11	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( Y o. F ) e. _V )
13		stoweidlem27.3	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
14		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G -> F : ( 1 ... M ) --> ran G )
15	5, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> ran G )
16		fnfco 6069	. . . . 5 |- ( ( Y Fn ran G /\ F : ( 1 ... M ) --> ran G ) -> ( Y o. F ) Fn ( 1 ... M ) )
17	1, 15, 16	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Y o. F ) Fn ( 1 ... M ) )
18		rncoss 5386	. . . . 5 |- ran ( Y o. F ) C_ ran Y
19		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y Fn ran G -> ( k e. ran Y <-> E. l e. ran G ( Y ` l ) = k ) )
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. ran Y <-> E. l e. ran G ( Y ` l ) = k ) )
21	20	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> E. l e. ran G ( Y ` l ) = k )
22		stoweidlem27.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ w ph
23		stoweidlem27.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
24		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ w ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
25	23, 24	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ w G
26	25	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ w ran G
27	26	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ w l e. ran G
28	22, 27	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ( ph /\ l e. ran G )
29		stoweidlem27.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. l )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( Y ` l ) e. l )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
32	30, 31	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( Y ` l ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ h ( Y ` l )
34		stoweidlem27.11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ h Q
35		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ h w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) }
36		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = ( Y ` l ) -> ( h ` t ) = ( ( Y ` l ) ` t ) )
37	36	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = ( Y ` l ) -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) ) )
38	37	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = ( Y ` l ) -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } )
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = ( Y ` l ) -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } ) )
40	33, 34, 35, 39	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Y ` l ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( ( Y ` l ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } ) )
41	32, 40	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( ( Y ` l ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } ) )
42	41	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( Y ` l ) e. Q )
43		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> l e. ran G )
44	23	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. ran G -> ( l e. ran G <-> E. w e. X l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( l e. ran G <-> E. w e. X l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) )
46	43, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> E. w e. X l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
47	28, 42, 46	r19.29af 3076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. Q )
48	47	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ran Y ) /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. Q )
49		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y ` l ) = k -> ( ( Y ` l ) e. Q <-> k e. Q ) )
50	48, 49	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ran Y ) /\ l e. ran G ) -> ( ( Y ` l ) = k -> k e. Q ) )
51	50	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> ( E. l e. ran G ( Y ` l ) = k -> E. l e. ran G k e. Q ) )
52	21, 51	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> E. l e. ran G k e. Q )
53		idd 24	. . . . . . . . . 10 |- ( l e. ran G -> ( k e. Q -> k e. Q ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> ( l e. ran G -> ( k e. Q -> k e. Q ) ) )
55	54	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> ( E. l e. ran G k e. Q -> k e. Q ) )
56	52, 55	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> k e. Q )
57	56	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. ran Y -> k e. Q ) )
58	57	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ph -> ran Y C_ Q )
59	18, 58	syl5ss 3614	. . . 4 |- ( ph -> ran ( Y o. F ) C_ Q )
60		df-f 5892	. . . 4 |- ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q <-> ( ( Y o. F ) Fn ( 1 ... M ) /\ ran ( Y o. F ) C_ Q ) )
61	17, 59, 60	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q )
62		stoweidlem27.9	. . . 4 |- F/ t ph
63		stoweidlem27.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. X )
64	63	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> t e. U. X )
65		eluni 4439	. . . . . . . 8 |- ( t e. U. X <-> E. w ( t e. w /\ w e. X ) )
66	64, 65	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. w ( t e. w /\ w e. X ) )
67		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ w t e. ( T \ U )
68	22, 67	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ w ( ph /\ t e. ( T \ U ) )
69	23	funmpt2 5927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Fun G
70	23	dmeqi 5325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom G = dom ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
71		stoweidlem27.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q e. _V )
72	34	rabexgf 39183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Q e. _V -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
75	74	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( w e. X -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V ) )
76	22, 75	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. w e. X { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
77		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. w e. X { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V -> dom ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) = X )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) = X )
79	70, 78	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom G = X )
80	79	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( w e. dom G <-> w e. X ) )
81	80	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. dom G )
82		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun G /\ w e. dom G ) -> ( G ` w ) e. ran G )
83	69, 81, 82	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( G ` w ) e. ran G )
84	83	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> ( G ` w ) e. ran G )
85	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> F : ( 1 ... M ) --> ran G )
86		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
87		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : ( 1 ... M ) --> ran G /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) = ( Y ` ( F ` i ) ) )
88	85, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) = ( Y ` ( F ` i ) ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` i ) = ( G ` w ) -> ( Y ` ( F ` i ) ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
90	89	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( Y ` ( F ` i ) ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
91	88, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
92		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = ( G ` w ) -> ( l e. ran G <-> ( G ` w ) e. ran G ) )
93	92	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( ph /\ l e. ran G ) <-> ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) ) )
94		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( Y ` l ) e. l <-> ( Y ` l ) e. ( G ` w ) ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = ( G ` w ) -> ( Y ` l ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
96	95	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( Y ` l ) e. ( G ` w ) <-> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) )
97	94, 96	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( Y ` l ) e. l <-> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) )
98	93, 97	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. l ) <-> ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) ) )
99	98, 29	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` w ) e. ran G -> ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) )
100	99	anabsi7 860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) )
102	91, 101	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) )
103		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G -> F : ( 1 ... M ) -onto-> ran G )
104		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : ( 1 ... M ) -onto-> ran G -> ran F = ran G )
105	5, 103, 104	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ran F = ran G )
106	105	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( G ` w ) e. ran F <-> ( G ` w ) e. ran G ) )
107	106	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( G ` w ) e. ran F )
108	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> F Fn ( 1 ... M ) )
109		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F Fn ( 1 ... M ) -> ( ( G ` w ) e. ran F <-> E. i e. ( 1 ... M ) ( F ` i ) = ( G ` w ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( ( G ` w ) e. ran F <-> E. i e. ( 1 ... M ) ( F ` i ) = ( G ` w ) ) )
111	107, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> E. i e. ( 1 ... M ) ( F ` i ) = ( G ` w ) )
112	102, 111	reximddv 3018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> E. i e. ( 1 ... M ) ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) )
113	84, 112	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> E. i e. ( 1 ... M ) ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) )
114		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> t e. w )
115		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. X )
116	23	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w e. X /\ { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V ) -> ( G ` w ) = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
117	115, 74, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( G ` w ) = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
118	117	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) <-> ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) )
119	118	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
120	119	adantlrl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
121		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ h ( ( Y o. F ) ` i )
122		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ h w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) }
123		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> ( h ` t ) = ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
124	123	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
125	124	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } )
126	125	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } ) )
127	121, 34, 122, 126	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } ) )
128	120, 127	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } ) )
129	128	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } )
130	114, 129	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> t e. { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } )
131		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } <-> ( t e. T /\ 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
132	130, 131	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( t e. T /\ 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
133	132	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
134	133	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) -> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
135	134	reximdv 3016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> ( E. i e. ( 1 ... M ) ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
136	113, 135	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
137	136	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( t e. w /\ w e. X ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
138	137	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( ( t e. w /\ w e. X ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
139	68, 138	eximd 2085	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( E. w ( t e. w /\ w e. X ) -> E. w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
140	66, 139	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
141		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t )
142		idd 24	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
143	68, 141, 142	exlimd 2087	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( E. w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
144	140, 143	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
145	144	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. ( T \ U ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
146	62, 145	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
147	13, 61, 146	jca32 558	. 2 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) )
148		feq1 6026	. . . . 5 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( q : ( 1 ... M ) --> Q <-> ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q ) )
149		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( q ` i ) = ( ( Y o. F ) ` i ) )
150	149	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( ( q ` i ) ` t ) = ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
151	150	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( 0 < ( ( q ` i ) ` t ) <-> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
152	151	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) <-> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
153	152	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
154	148, 153	anbi12d 747	. . . 4 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) <-> ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) )
155	154	anbi2d 740	. . 3 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) <-> ( M e. NN /\ ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) ) )
156	155	spcegv 3294	. 2 |- ( ( Y o. F ) e. _V -> ( ( M e. NN /\ ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) -> E. q ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) )
157	12, 147, 156	sylc 65	1 |- ( ph -> E. q ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  stoweidlem35  40252