Theorem coexg 7117

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 5658	. 2 |- ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A )
2		dmexg 7097	. . 3 |- ( B e. W -> dom B e. _V )
3		rnexg 7098	. . 3 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
4		xpexg 6960	. . 3 |- ( ( dom B e. _V /\ ran A e. _V ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anr 495	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( dom B X. ran A ) e. _V )
6		ssexg 4804	. 2 |- ( ( ( A o. B ) C_ ( dom B X. ran A ) /\ ( dom B X. ran A ) e. _V ) -> ( A o. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 695	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  coex  7118  supp0cosupp0  7334  imacosupp  7335  fsuppco2  8308  fsuppcor  8309  mapfienlem2  8311  wemapwe  8594  cofsmo  9091  relexpsucnnr  13765  supcvg  14588  imasle  16183  setcco  16733  estrcco  16770  pwsco1mhm  17370  pwsco2mhm  17371  symgov  17810  symgcl  17811  gsumval3lem2  18307  gsumzf1o  18313  evls1sca  19688  f1lindf  20161  tngds  22452  climcncf  22703  motplusg  25437  smatfval  29861  eulerpartlemmf  30437  hgt750lemg  30732  tgrpov  36036  erngmul  36094  erngmul-rN  36102  dvamulr  36300  dvavadd  36303  dvhmulr  36375  mendmulr  37758  relexp0a  38008  choicefi  39392  climexp  39837  dvsinax  40127  stoweidlem27  40244  stoweidlem31  40248  stoweidlem59  40276  uspgrbisymrelALT  41763  rngccoALTV  41988  ringccoALTV  42051