Theorem stoweidlem28 40245

Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on T \ U. Here d is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem28.1	|- F/_ t U
stoweidlem28.2	|- F/ t ph
stoweidlem28.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem28.4	|- T = U. J
stoweidlem28.5	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem28.6	|- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )
stoweidlem28.7	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) )
stoweidlem28.8	|- ( ph -> U e. J )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem28	|- ( ph -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, d, P   T, d, t   U, d   t, J

Allowed substitution hints:   ph( t, d)   U( t)   J( d)   K( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem28

Dummy variables x c s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 11246	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
2		halfgt0 11248	. . . . 5 |- 0 < ( 1 / 2 )
3	1, 2	elrpii 11835	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
5		halflt1 11250	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) < 1
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( 1 / 2 ) < 1 )
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ t T
8		stoweidlem28.1	. . . . . . 7 |- F/_ t U
9	7, 8	nfdif 3731	. . . . . 6 |- F/_ t ( T \ U )
10	9	nfeq1 2778	. . . . 5 |- F/ t ( T \ U ) = (/)
11	10	rzalf 39176	. . . 4 |- ( ( T \ U ) = (/) -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 / 2 ) <_ ( P ` t ) )
12	11	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 / 2 ) <_ ( P ` t ) )
13		ovex 6678	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. _V
14		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( d = ( 1 / 2 ) -> ( d e. RR+ <-> ( 1 / 2 ) e. RR+ ) )
15		breq1 4656	. . . . 5 |- ( d = ( 1 / 2 ) -> ( d < 1 <-> ( 1 / 2 ) < 1 ) )
16		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( d = ( 1 / 2 ) -> ( d <_ ( P ` t ) <-> ( 1 / 2 ) <_ ( P ` t ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( d = ( 1 / 2 ) -> ( A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 / 2 ) <_ ( P ` t ) ) )
18	14, 15, 17	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( d = ( 1 / 2 ) -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ ( 1 / 2 ) < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 / 2 ) <_ ( P ` t ) ) ) )
19	13, 18	spcev 3300	. . 3 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ ( 1 / 2 ) < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 / 2 ) <_ ( P ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )
20	4, 6, 12, 19	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )
21		simplll 798	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. ( T \ U ) ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> ph )
22		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. ( T \ U ) ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> x e. ( T \ U ) )
23		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. ( T \ U ) ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
24		stoweidlem28.3	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( topGen ` ran (,) )
25		stoweidlem28.4	. . . . . . . . . . 11 |- T = U. J
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
27		stoweidlem28.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )
28	24, 25, 26, 27	fcnre 39184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P : T --> RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) ) -> P : T --> RR )
30		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( T \ U ) -> x e. T )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) ) -> x e. T )
32	29, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) ) -> ( P ` x ) e. RR )
33		stoweidlem28.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) )
34		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( T \ U )
35		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x 0 < ( P ` t )
36		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t 0 < ( P ` x )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( P ` t ) = ( P ` x ) )
38	37	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( 0 < ( P ` t ) <-> 0 < ( P ` x ) ) )
39	9, 34, 35, 36, 38	cbvralf 3165	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) <-> A. x e. ( T \ U ) 0 < ( P ` x ) )
40	39	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) -> A. x e. ( T \ U ) 0 < ( P ` x ) )
41	40	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) /\ x e. ( T \ U ) ) -> 0 < ( P ` x ) )
42	33, 41	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) ) -> 0 < ( P ` x ) )
43	32, 42	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) ) -> ( P ` x ) e. RR+ )
44	43	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> ( P ` x ) e. RR+ )
45		stoweidlem28.2	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
46	9	nfcri 2758	. . . . . . . 8 |- F/ t x e. ( T \ U )
47		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t )
48	45, 46, 47	nf3an 1831	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
49		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
50	49	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
51		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> x e. ( T \ U ) )
52		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( T \ U ) -> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) = ( P ` x ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) = ( P ` x ) )
54		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( T \ U ) -> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) = ( P ` t ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) = ( P ` t ) )
56	50, 53, 55	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( P ` x ) <_ ( P ` t ) )
57	56	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> ( t e. ( T \ U ) -> ( P ` x ) <_ ( P ` t ) ) )
58	48, 57	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) ( P ` x ) <_ ( P ` t ) )
59		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( P ` x ) -> ( c e. RR+ <-> ( P ` x ) e. RR+ ) )
60		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( P ` x ) -> ( c <_ ( P ` t ) <-> ( P ` x ) <_ ( P ` t ) ) )
61	60	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( P ` x ) -> ( A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( P ` x ) <_ ( P ` t ) ) )
62	59, 61	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( c = ( P ` x ) -> ( ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) <-> ( ( P ` x ) e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) ( P ` x ) <_ ( P ` t ) ) ) )
63	62	spcegv 3294	. . . . . . 7 |- ( ( P ` x ) e. RR+ -> ( ( ( P ` x ) e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) ( P ` x ) <_ ( P ` t ) ) -> E. c ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) ) )
64	44, 63	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> ( ( ( P ` x ) e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) ( P ` x ) <_ ( P ` t ) ) -> E. c ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) ) )
65	44, 58, 64	mp2and 715	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> E. c ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) )
66		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) ) -> ph )
67		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) ) -> c e. RR+ )
68		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) )
69		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ t c e. RR+
70		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t )
71	45, 69, 70	nf3an 1831	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) )
72		eqid 2622	. . . . . . 7 |- if ( c <_ ( 1 / 2 ) , c , ( 1 / 2 ) ) = if ( c <_ ( 1 / 2 ) , c , ( 1 / 2 ) )
73	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) -> P : T --> RR )
74		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) -> ( T \ U ) C_ T )
75		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) -> c e. RR+ )
76		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) )
77	71, 72, 73, 74, 75, 76	stoweidlem5 40222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )
78	66, 67, 68, 77	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) /\ ( c e. RR+ /\ A. t e. ( T \ U ) c <_ ( P ` t ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )
79	65, 78	exlimddv 1863	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( T \ U ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )
80	21, 22, 23, 79	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. ( T \ U ) ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )
81		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( J ↾t ( T \ U ) ) = U. ( J ↾t ( T \ U ) )
82		stoweidlem28.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
83		stoweidlem28.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. J )
84		cmptop 21198	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
85	82, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. Top )
86		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
87	83, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U C_ U. J )
88	87, 25	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U C_ T )
89	25	isopn2 20836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ U C_ T ) -> ( U e. J <-> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) )
90	85, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U e. J <-> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) )
91	83, 90	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) )
92		cmpcld 21205	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
93	82, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
94	93	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
95	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> P e. ( J Cn K ) )
96		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( T \ U ) C_ T )
97	25	cnrest 21089	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( J Cn K ) /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( P |` ( T \ U ) ) e. ( ( J ↾t ( T \ U ) ) Cn K ) )
98	95, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( P |` ( T \ U ) ) e. ( ( J ↾t ( T \ U ) ) Cn K ) )
99		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( ( T \ U ) =/= (/) <-> -. ( T \ U ) = (/) )
100		difssd 3738	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ T )
101	25	restuni 20966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( T \ U ) = U. ( J ↾t ( T \ U ) ) )
102	85, 100, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T \ U ) = U. ( J ↾t ( T \ U ) ) )
103	102	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T \ U ) =/= (/) <-> U. ( J ↾t ( T \ U ) ) =/= (/) ) )
104	99, 103	syl5rbbr 275	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U. ( J ↾t ( T \ U ) ) =/= (/) <-> -. ( T \ U ) = (/) ) )
105	104	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> U. ( J ↾t ( T \ U ) ) =/= (/) )
106	81, 24, 94, 98, 105	evth2 22759	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. x e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) A. s e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` s ) )
107		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ s U. ( J ↾t ( T \ U ) )
108		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t J
109		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ↾t
110	108, 109, 9	nfov 6676	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( J ↾t ( T \ U ) )
111	110	nfuni 4442	. . . . . . 7 |- F/_ t U. ( J ↾t ( T \ U ) )
112		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t P
113	112, 9	nfres 5398	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( P |` ( T \ U ) )
114		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t x
115	113, 114	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x )
116		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t <_
117		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t s
118	113, 117	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( ( P |` ( T \ U ) ) ` s )
119	115, 116, 118	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` s )
120		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ s ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t )
121		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( s = t -> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` s ) = ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
122	121	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( s = t -> ( ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` s ) <-> ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) )
123	107, 111, 119, 120, 122	cbvralf 3165	. . . . . 6 |- ( A. s e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` s ) <-> A. t e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
124	123	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. x e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) A. s e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` s ) <-> E. x e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) A. t e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
125	106, 124	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. x e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) A. t e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
126	9, 111	raleqf 3134	. . . . . . 7 |- ( ( T \ U ) = U. ( J ↾t ( T \ U ) ) -> ( A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) <-> A. t e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) )
127	126	rexeqbi1dv 3147	. . . . . 6 |- ( ( T \ U ) = U. ( J ↾t ( T \ U ) ) -> ( E. x e. ( T \ U ) A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) <-> E. x e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) A. t e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) )
128	102, 127	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. ( T \ U ) A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) <-> E. x e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) A. t e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) )
129	128	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( E. x e. ( T \ U ) A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) <-> E. x e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) A. t e. U. ( J ↾t ( T \ U ) ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) ) )
130	125, 129	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. x e. ( T \ U ) A. t e. ( T \ U ) ( ( P |` ( T \ U ) ) ` x ) <_ ( ( P |` ( T \ U ) ) ` t ) )
131	80, 130	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )
132	20, 131	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( P ` t ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  40273