Theorem suplub 8366

Description: A supremum is the least upper bound. See also supcl 8364 and supub 8365. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1	|- ( ph -> R Or A )
supcl.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplub	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ C R sup ( B , A , R ) ) -> E. z e. B C R z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, R, y, z   x, B, y, z   z, C

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   C( x, y)

Proof of Theorem suplub

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) )
2		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y R x <-> w R x ) )
3		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y R z <-> w R z ) )
4	3	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. B w R z ) )
5	2, 4	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( w R x -> E. z e. B w R z ) ) )
6	5	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) )
7	1, 6	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) )
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) ) )
9	8	ss2rabi 3684	. . . 4 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } C_ { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) }
10		supmo.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R Or A )
11	10	supval2 8361	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
12		supcl.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
13	10, 12	supeu 8360	. . . . . 6 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
14		riotacl2 6624	. . . . . 6 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
16	11, 15	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
17	9, 16	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) } )
18		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( w R x <-> w R sup ( B , A , R ) ) )
19	18	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( ( w R x -> E. z e. B w R z ) <-> ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) ) )
20	19	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) <-> A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) ) )
21	20	elrab 3363	. . . 4 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) } <-> ( sup ( B , A , R ) e. A /\ A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) ) )
22	21	simprbi 480	. . 3 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) } -> A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) )
23	17, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) )
24		breq1 4656	. . . . 5 |- ( w = C -> ( w R sup ( B , A , R ) <-> C R sup ( B , A , R ) ) )
25		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( w = C -> ( w R z <-> C R z ) )
26	25	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( w = C -> ( E. z e. B w R z <-> E. z e. B C R z ) )
27	24, 26	imbi12d 334	. . . 4 |- ( w = C -> ( ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) <-> ( C R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B C R z ) ) )
28	27	rspccv 3306	. . 3 |- ( A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) -> ( C e. A -> ( C R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B C R z ) ) )
29	28	impd 447	. 2 |- ( A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) -> ( ( C e. A /\ C R sup ( B , A , R ) ) -> E. z e. B C R z ) )
30	23, 29	syl 17	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ C R sup ( B , A , R ) ) -> E. z e. B C R z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   class class class wbr 4653   Or wor 5034   iota_crio 6610   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  suplub2  8367  supnub  8368  supiso  8381  infglb  8396  supxrun  12146  supxrunb1  12149  supxrunb2  12150  esum2d  30155  gtinfOLD  32314