Theorem supxrunb1 12149

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	|- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3597	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> z e. RR* ) )
2		pnfnlt 11962	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR* -> -. +oo < z )
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> -. +oo < z ) )
4	3	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> A. z e. A -. +oo < z )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. A -. +oo < z )
6		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> ( z + 1 ) e. RR )
7		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( x <_ y <-> ( z + 1 ) <_ y ) )
8	7	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( E. y e. A x <_ y <-> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y ) )
9	8	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
10	9	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
11	10	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ ( z + 1 ) e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
12	6, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
13		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
14		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> z < ( z + 1 ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> z < ( z + 1 ) )
16	6	ancli 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) )
17		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
18		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z + 1 ) e. RR -> ( z + 1 ) e. RR* )
19		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
20	18, 19	syl3an2 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
21	17, 20	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
22	21	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
23	16, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
24	15, 23	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
25	24	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
26	13, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
27	26	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) /\ y e. A ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
28	27	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
29	28	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
30	12, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A z < y )
31	30	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) )
32	31	a1dd 50	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) ) )
33	32	com4r 94	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
34	33	com13 88	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
35	34	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
36	35	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) )
37	5, 36	jca 554	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
38		pnfxr 10092	. . . . 5 |- +oo e. RR*
39		supxr 12143	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
40	38, 39	mpanl2 717	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
41	37, 40	syldan 487	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
42	41	ex 450	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
43		rexr 10085	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
44	43	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x e. RR* )
45		ltpnf 11954	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x < +oo )
46		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x < sup ( A , RR* , < ) <-> x < +oo ) )
47	45, 46	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x e. RR -> x < sup ( A , RR* , < ) ) )
48	47	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
49	48	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
50		xrltso 11974	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> < Or RR* )
52		xrsupss 12139	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
54	51, 53	suplub 8366	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( ( x e. RR* /\ x < sup ( A , RR* , < ) ) -> E. y e. A x < y ) )
55	44, 49, 54	mp2and 715	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. y e. A x < y )
56	55	ex 450	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x < y ) )
57	43	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR* )
58	13	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
59		xrltle 11982	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
60	57, 58, 59	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
61	60	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y -> E. y e. A x <_ y ) )
62	56, 61	syld 47	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x <_ y ) )
63	62	ralrimdva 2969	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) )
64	42, 63	impbid 202	1 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Or wor 5034  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supxrbnd1  12151  uzsup  12662  limsupval2  14211  limsupbnd2  14214  rlimuni  14281  rlimcld2  14309  rlimno1  14384  esumcvg  30148  suplesup  39555  liminfval2  40000