Theorem esum2d 30155

Description: Write a double extended sum as a sum over a two-dimensional region. Note that B ( j ) is a function of j. This can be seen as "slicing" the relation A. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esum2d.0	|- F/_ k F
esum2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> F = C )
esum2d.2	|- ( ph -> A e. V )
esum2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
esum2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
esum2d	|- ( ph -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )

Distinct variable groups:   j, k, A, z   z, C   B, k, z   j, F   j, W, k   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   F( z, k)   V( z, j, k)   W( z)

Proof of Theorem esum2d

Dummy variables t a c r s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> < Or RR* )
3		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ c ph
4		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c s
5		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ c ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
6	5	nfrn 5368	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
7	4, 6	nfel 2777	. . . . . . . . 9 |- F/ c s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
8	3, 7	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ c ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
9		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
10		xrge0base 29685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
11		xrge0cmn 19788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
14	13	elin2d 3803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. Fin )
15		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> ph )
16	13	elin1d 3802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) )
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- c e. _V
19	18	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
20	17, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> z e. c )
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ j ph
24		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j z
25		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. B )
26	24, 25	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ j z e. U_ j e. A ( { j } X. B )
27	23, 26	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ j ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
28		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ k ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) )
29		esum2d.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k F
30		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k ( 0 [,] +oo )
31	29, 30	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ k F e. ( 0 [,] +oo )
32		esum2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = <. j , k >. -> F = C )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> F = C )
34		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> ph )
35		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> j e. A )
36		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> k e. B )
37		esum2d.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
39	33, 38	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
40		elsnxp 5677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. A -> ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. k e. B z = <. j , k >. ) )
41	40	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. A /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E. k e. B z = <. j , k >. )
42	41	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E. k e. B z = <. j , k >. )
43	28, 31, 39, 42	r19.29af2 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
45		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
46	44, 45	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
47	27, 43, 46	r19.29af 3076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
48	15, 22, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
49	48	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> A. z e. c F e. ( 0 [,] +oo ) )
50	10, 12, 14, 49	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	9, 50	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* )
52	51	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) = ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
54	53	rnmptss 6392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* -> ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) C_ RR* )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) C_ RR* )
56	55	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) C_ RR* )
57		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
58	56, 57	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s e. RR* )
59		esum2d.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. V )
60		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { j } e. _V
61		esum2d.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
62		xpexg 6960	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { j } e. _V /\ B e. W ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
63	60, 61, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
65		iunexg 7143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. B ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
66	59, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
67	47	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) )
68		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z U_ j e. A ( { j } X. B )
69	68	esumcl 30092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V /\ A. z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) )
70	66, 67, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) )
71	9, 70	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* )
72	71	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* )
73		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
74		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
75		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z c
76	74, 75, 14, 48	esumgsum 30107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
77	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
78	47	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
79	16, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
80	74, 77, 78, 79	esummono 30116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
81	76, 80	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
82	81	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
84	73, 83	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
85		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. RR* /\ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* ) -> ( s <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
86	85	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s e. RR* /\ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* ) /\ s <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
87	58, 72, 84, 86	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
88		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
89		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. _V
90	53, 89	elrnmpti 5376	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) <-> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
91	88, 90	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
92	8, 87, 91	r19.29af 3076	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
93	92	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
94		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
95		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ c s < t
96	6, 95	nfrex 3007	. . . . . . . . 9 |- F/ c E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t
97	76	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
98	97	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
100		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
101	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. _V )
102	53	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. _V ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
103	100, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
104	99, 103	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> Σ* z e. c F e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
105		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) /\ t = Σ* z e. c F ) -> t = Σ* z e. c F )
106	105	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) /\ t = Σ* z e. c F ) -> ( s < t <-> s < Σ* z e. c F ) )
107		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> s < Σ* z e. c F )
108	104, 106, 107	rspcedvd 3317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t )
109		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ s e. RR* )
110		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z s
111		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z <
112	68	nfesum1 30102	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ zΣ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F
113	110, 111, 112	nfbr 4699	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F
114	109, 113	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
115	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
116	47	3ad2antr3 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
117	116	3anassrs 1290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
118		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> s e. RR* )
119		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
120	114, 115, 117, 118, 119	esumlub 30122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) s < Σ* z e. c F )
121	94, 96, 108, 120	r19.29af2 3075	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t )
122	121	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR* ) -> ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) )
123	122	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) )
124	93, 123	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s /\ A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
125		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
126	125	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( r < s <-> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
127	126	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( -. r < s <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
128	127	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s <-> A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
129	125	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( s < r <-> s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) )
130	129	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) <-> ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
131	130	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) <-> A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
132	128, 131	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s /\ A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) <-> ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s /\ A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) ) )
133	71, 132	rspcedv 3313	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s /\ A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) -> E. r e. RR* ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s /\ A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) ) )
134	124, 133	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. r e. RR* ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s /\ A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
135	2, 134	supcl 8364	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
136		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ a ph
137		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ a s
138		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ a ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
139	138	nfrn 5368	. . . . . 6 |- F/_ a ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
140	137, 139	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ a s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
141	136, 140	nfan 1828	. . . 4 |- F/ a ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
142		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
143		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> ph )
144	142	elin1d 3802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a e. ~P A )
145		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ~P A -> a C_ A )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a C_ A )
147	146	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> j e. A )
148	143, 147, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> B e. W )
149	143	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> ph )
150	147	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> j e. A )
151		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> k e. B )
152	149, 150, 151, 37	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
153	142	elin2d 3803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a e. Fin )
154	29, 32, 142, 148, 152, 153	esum2dlem 30154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F )
155		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) )
156		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j a
157	37	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
158	157	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
159		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k B
160	159	esumcl 30092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. W /\ A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
161	61, 158, 160	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
162	143, 147, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
163	155, 156, 153, 162	esumgsum 30107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
164	154, 163	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
165		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) )
166	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
167	47	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
168		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a C_ A -> U_ j e. a ( { j } X. B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
169	146, 168	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> U_ j e. a ( { j } X. B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
170	165, 166, 167, 169	esummono 30116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
171	164, 170	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
172	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
173	162	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A. j e. a Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
174	10, 172, 153, 173	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
175	9, 174	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. RR* )
176	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* )
177		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. RR* /\ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* ) -> ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
178	175, 176, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
179	171, 178	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
180		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ph
181		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
182	180, 68, 66, 47, 181	esumval 30108	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F = sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F = sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
184	183	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <-> sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
185	179, 184	mtbid 314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
186	185	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
187	186	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
188		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
189	188	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> ( sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s <-> sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
190	189	notbid 308	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> ( -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s <-> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
191	187, 190	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s )
192		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) = ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
193		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V
194	192, 193	elrnmpti 5376	. . . . . 6 |- ( s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) <-> E. a e. ( ~P A i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
195	194	biimpi 206	. . . . 5 |- ( s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> E. a e. ( ~P A i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
196	195	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) -> E. a e. ( ~P A i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
197	141, 191, 196	r19.29af 3076	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s )
198	4	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ c s e. RR*
199		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c <
200		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ c RR*
201	6, 200, 199	nfsup 8357	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < )
202	4, 199, 201	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ c s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < )
203	198, 202	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ c ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
204	3, 203	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ c ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) )
205		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ c u
206	205, 6	nfel 2777	. . . . . . 7 |- F/ c u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
207	204, 206	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ c ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
208		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ c s < u
209	207, 208	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ c ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u )
210		simp-5l 808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ph )
211		simpr1l 1118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) ) -> s e. RR* )
212	211	3anassrs 1290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> s e. RR* )
213	212	3anassrs 1290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s e. RR* )
214	210, 213	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ( ph /\ s e. RR* ) )
215		simpr1r 1119	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) ) -> s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
216	215	3anassrs 1290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
217	216	3anassrs 1290	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
218	214, 217	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) )
219		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s < u )
220		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
221	219, 220	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
222		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
223		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
224	223	elin1d 3802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) )
225		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
226		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c C_ dom U_ j e. A ( { j } X. B ) )
227		dmiun 5333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom U_ j e. A ( { j } X. B ) = U_ j e. A dom ( { j } X. B )
228	226, 227	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c C_ U_ j e. A dom ( { j } X. B ) )
229		dmxpss 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( { j } X. B ) C_ { j }
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. A -> dom ( { j } X. B ) C_ { j } )
231		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. A -> { j } C_ A )
232	230, 231	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. A -> dom ( { j } X. B ) C_ A )
233	232	rgen 2922	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A
234		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A <-> A. j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A )
235	233, 234	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A
236	228, 235	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c C_ A )
237	18	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom c e. _V
238	237	elpw 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom c e. ~P A <-> dom c C_ A )
239	236, 238	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c e. ~P A )
240	224, 225, 239	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. ~P A )
241	223	elin2d 3803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. Fin )
242		dmfi 8244	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. Fin -> dom c e. Fin )
243	241, 242	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. Fin )
244	240, 243	elind 3798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. ( ~P A i^i Fin ) )
245		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V
246	245	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V )
247		mpteq1 4737	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = dom c -> ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) = ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) )
248	247	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = dom c -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
249	192, 248	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom c e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
250	244, 246, 249	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
251		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ t = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> t = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
252	251	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ t = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> ( s < t <-> s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
253		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> s e. RR* )
254	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
255		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
256		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z gsumg
257		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z ( z e. c |-> F )
258	255, 256, 257	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) )
259	110, 111, 258	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) )
260	109, 259	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
261		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin )
262	260, 261	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
263		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> ph )
264	224, 225	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
265	264	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
266	263, 265, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
267	266	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( z e. c -> F e. ( 0 [,] +oo ) ) )
268	262, 267	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> A. z e. c F e. ( 0 [,] +oo ) )
269	10, 254, 241, 268	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
270	9, 269	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* )
271		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
272		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j c
273	25	nfpw 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j ~P U_ j e. A ( { j } X. B )
274		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j Fin
275	273, 274	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin )
276	272, 275	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin )
277	271, 276	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
278		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> ph )
279	79, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c C_ A )
280	279	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> j e. A )
281	278, 280, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
282	281	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
283	282	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
284	283	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( j e. dom c -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
285	277, 284	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> A. j e. dom cΣ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
286	10, 254, 243, 285	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
287	9, 286	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. RR* )
288		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
289	23, 276	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
290		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
291		xpss 5226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { j } X. B ) C_ ( _V X. _V )
292	291	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- A. j e. A ( { j } X. B ) C_ ( _V X. _V )
293		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ j e. A ( { j } X. B ) C_ ( _V X. _V ) <-> A. j e. A ( { j } X. B ) C_ ( _V X. _V ) )
294	292, 293	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ j e. A ( { j } X. B ) C_ ( _V X. _V )
295	294	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) C_ ( _V X. _V ) )
296	290, 295	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> c C_ ( _V X. _V ) )
297	79, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c C_ ( _V X. _V ) )
298		df-rel 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Rel c <-> c C_ ( _V X. _V ) )
299	297, 298	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Rel c )
300	29, 289, 10, 32, 299, 14, 12, 48	gsummpt2d 29781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. ( c " { j } ) |-> C ) ) ) ) )
301		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j dom c
302	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. _V )
303	278	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. ( c " { j } ) ) -> ph )
304	280	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. ( c " { j } ) ) -> j e. A )
305	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
306		imass1 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> ( c " { j } ) C_ ( U_ j e. A ( { j } X. B ) " { j } ) )
307	305, 306	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> ( c " { j } ) C_ ( U_ j e. A ( { j } X. B ) " { j } ) )
308	59, 61	iunsnima 29428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( U_ j e. A ( { j } X. B ) " { j } ) = B )
309	278, 280, 308	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> ( U_ j e. A ( { j } X. B ) " { j } ) = B )
310	307, 309	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> ( c " { j } ) C_ B )
311	310	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. ( c " { j } ) ) -> k e. B )
312	303, 304, 311, 37	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. ( c " { j } ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
313	312	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> A. k e. ( c " { j } ) C e. ( 0 [,] +oo ) )
314		imaexg 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. _V -> ( c " { j } ) e. _V )
315	18, 314	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c " { j } ) e. _V
316		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( c " { j } )
317	316	esumcl 30092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( c " { j } ) e. _V /\ A. k e. ( c " { j } ) C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. ( c " { j } ) C e. ( 0 [,] +oo ) )
318	315, 317	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( c " { j } ) C e. ( 0 [,] +oo ) -> Σ* k e. ( c " { j } ) C e. ( 0 [,] +oo ) )
319	313, 318	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. ( c " { j } ) C e. ( 0 [,] +oo ) )
320		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c )
321	278, 280, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> B e. W )
322	278	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. B ) -> ph )
323	280	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. B ) -> j e. A )
324		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. B ) -> k e. B )
325	322, 323, 324, 37	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
326	320, 321, 325, 310	esummono 30116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. ( c " { j } ) C <_ Σ* k e. B C )
327	289, 301, 302, 319, 281, 326	esumlef 30124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* j e. dom cΣ* k e. ( c " { j } ) C <_ Σ* j e. dom cΣ* k e. B C )
328	14, 242	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. Fin )
329	289, 301, 328, 319	esumgsum 30107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* j e. dom cΣ* k e. ( c " { j } ) C = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. ( c " { j } ) C ) ) )
330	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> c e. Fin )
331		imafi2 29489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. Fin -> ( c " { j } ) e. Fin )
332	330, 331	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> ( c " { j } ) e. Fin )
333	320, 316, 332, 312	esumgsum 30107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. ( c " { j } ) C = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. ( c " { j } ) |-> C ) ) )
334	289, 333	mpteq2da 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( j e. dom c |-> Σ* k e. ( c " { j } ) C ) = ( j e. dom c |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. ( c " { j } ) |-> C ) ) ) )
335	334	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. ( c " { j } ) C ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. ( c " { j } ) |-> C ) ) ) ) )
336	329, 335	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* j e. dom cΣ* k e. ( c " { j } ) C = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. ( c " { j } ) |-> C ) ) ) ) )
337	289, 301, 328, 281	esumgsum 30107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* j e. dom cΣ* k e. B C = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
338	327, 336, 337	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. ( c " { j } ) |-> C ) ) ) ) <_ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
339	300, 338	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
340	339	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
341	340	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
342	253, 270, 287, 288, 341	xrltletrd 11992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
343	250, 252, 342	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> E. t e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) s < t )
344	343	adantllr 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> E. t e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) s < t )
345	218, 221, 222, 344	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> E. t e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) s < t )
346	53, 89	elrnmpti 5376	. . . . . . 7 |- ( u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) <-> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
347	346	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
348	347	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) -> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
349	209, 345, 348	r19.29af 3076	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) -> E. t e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) s < t )
350	2, 134	suplub 8366	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) )
351	350	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t )
352		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( t = u -> ( s < t <-> s < u ) )
353	352	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t <-> E. u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < u )
354	351, 353	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) -> E. u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < u )
355	349, 354	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) -> E. t e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) s < t )
356	2, 135, 197, 355	eqsupd 8363	. 2 |- ( ph -> sup ( ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
357		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ j A
358		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
359	23, 357, 59, 161, 358	esumval 30108	. 2 |- ( ph -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = sup ( ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) , RR* , < ) )
360	356, 359, 182	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Rel wrel 5119  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   ↾_s cress 15858   gsum_g cgsu 16101   RR*scxrs 16160  CMndccmn 18193  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumiun  30156