Theorem tendoipl 36085

Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	|- H = ( LHyp ` K )
tendoicl.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendoicl.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendoicl.i	|- I = ( s e. E |-> ( f e. T |-> `' ( s ` f ) ) )
tendoi.b	|- B = ( Base ` K )
tendoi.p	|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
tendoi.o	|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )

Assertion

Ref	Expression
tendoipl	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )

Distinct variable groups:   E, s   f, s, T   f, W, s   B, f   t, E   f, H   f, K   t, f, s, T   t, W

Allowed substitution hints:   B( t, s)   P( t, f, s)   S( t, f, s)   E( f)   H( t, s)   I( t, f, s)   K( t, s)   O( t, f, s)

Proof of Theorem tendoipl

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		tendoicl.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		tendoicl.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4		tendoicl.e	. . . 4 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
5		tendoicl.i	. . . 4 |- I = ( s e. E |-> ( f e. T |-> `' ( s ` f ) ) )
6	2, 3, 4, 5	tendoicl 36084	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( I ` S ) e. E )
7		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S e. E )
8		tendoi.p	. . . 4 |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
9	2, 3, 4, 8	tendoplcl 36069	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` S ) e. E /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) e. E )
10	1, 6, 7, 9	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) e. E )
11		tendoi.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
12		tendoi.o	. . . 4 |- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
13	11, 2, 3, 4, 12	tendo0cl 36078	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. E )
14	13	adantr 481	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> O e. E )
15	5, 3	tendoi2 36083	. . . . . . 7 |- ( ( S e. E /\ g e. T ) -> ( ( I ` S ) ` g ) = `' ( S ` g ) )
16	15	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( I ` S ) ` g ) = `' ( S ` g ) )
17	16	coeq1d 5283	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) )
18		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19	2, 3, 4	tendocl 36055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
20	19	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
21	11, 2, 3	ltrn1o 35410	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` g ) e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
22	18, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
23		f1ococnv1 6165	. . . . . 6 |- ( ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B -> ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
25	17, 24	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
26	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( I ` S ) e. E )
27		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> S e. E )
28		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> g e. T )
29	8, 3	tendopl2 36065	. . . . 5 |- ( ( ( I ` S ) e. E /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) )
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) )
31	12, 11	tendo02 36075	. . . . 5 |- ( g e. T -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
32	31	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
33	25, 30, 32	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) )
34	33	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> A. g e. T ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) )
35	2, 3, 4	tendoeq1 36052	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( I ` S ) P S ) e. E /\ O e. E ) /\ A. g e. T ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )
36	1, 10, 14, 34, 35	syl121anc 1331	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   TEndoctendo 36040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043

This theorem is referenced by:  tendoipl2  36086  erngdvlem1  36276  erngdvlem1-rN  36284