Theorem tendocl 36055

Description: Closure of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	|- H = ( LHyp ` K )
tendof.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendof.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
tendocl	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ S e. E /\ F e. T ) -> ( S ` F ) e. T )

Proof of Theorem tendocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendof.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		tendof.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		tendof.e	. . . 4 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4	1, 2, 3	tendof 36051	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S : T --> T )
5	4	3adant3 1081	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ S e. E /\ F e. T ) -> S : T --> T )
6		simp3 1063	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ S e. E /\ F e. T ) -> F e. T )
7	5, 6	ffvelrnd 6360	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ S e. E /\ F e. T ) -> ( S ` F ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   -->wf 5884   ` cfv 5888   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   TEndoctendo 36040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-tendo 36043

This theorem is referenced by:  tendoco2  36056  tendococl  36060  tendoid  36061  tendoplcl2  36066  tendopltp  36068  tendoplcl  36069  tendoplcom  36070  tendodi1  36072  tendodi2  36073  tendo0pl  36079  tendoicl  36084  tendoipl  36085  cdlemi1  36106  cdlemi2  36107  cdlemi  36108  cdlemj2  36110  tendo0mul  36114  tendoconid  36117  tendotr  36118  cdleml1N  36264  cdleml2N  36265  cdleml6  36269  dva1dim  36273  tendospcl  36307  tendocnv  36310  tendospcanN  36312  dvalveclem  36314  dialss  36335  dvhvscacl  36392  dvhlveclem  36397  dib1dim  36454  dib1dim2  36457  diblss  36459  dicssdvh  36475  diclspsn  36483  cdlemn6  36491  dihopelvalcpre  36537  dih1  36575  dihglbcpreN  36589  dih1dimatlem0  36617  dih1dimatlem  36618