Theorem tgpt1 21921

Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgpt1.j	|- J = ( TopOpen ` G )

Assertion

Ref	Expression
tgpt1	|- ( G e. TopGrp -> ( J e. Haus <-> J e. Fre ) )

Proof of Theorem tgpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 21156	. 2 |- ( J e. Haus -> J e. Fre )
2		tgpgrp 21882	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5	3, 4	grpidcl 17450	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
7		tgpt1.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` G )
8	7, 3	tgptopon 21886	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
9		toponuni 20719	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = U. J )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> ( Base ` G ) = U. J )
11	6, 10	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> ( 0g ` G ) e. U. J )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. J = U. J
13	12	t1sncld 21130	. . . . 5 |- ( ( J e. Fre /\ ( 0g ` G ) e. U. J ) -> { ( 0g ` G ) } e. ( Clsd ` J ) )
14	13	expcom 451	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. U. J -> ( J e. Fre -> { ( 0g ` G ) } e. ( Clsd ` J ) ) )
15	11, 14	syl 17	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> ( J e. Fre -> { ( 0g ` G ) } e. ( Clsd ` J ) ) )
16	4, 7	tgphaus 21920	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> ( J e. Haus <-> { ( 0g ` G ) } e. ( Clsd ` J ) ) )
17	15, 16	sylibrd 249	. 2 |- ( G e. TopGrp -> ( J e. Fre -> J e. Haus ) )
18	1, 17	impbid2 216	1 |- ( G e. TopGrp -> ( J e. Haus <-> J e. Fre ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Frect1 21111   Hauscha 21112   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-tmd 21876  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  tgpt0  21922