Theorem tgptopon 21886

Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgptopon.x	|- X = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
tgptopon	|- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem tgptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptps 21884	. 2 |- ( G e. TopGrp -> G e. TopSp )
2		tgptopon.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
3		tgpcn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` G )
4	2, 3	istps 20738	. 2 |- ( G e. TopSp <-> J e. (TopOn ` X ) )
5	1, 4	sylib 208	1 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-tmd 21876  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  tgpsubcn  21894  tgpmulg  21897  tgpmulg2  21898  subgtgp  21909  subgntr  21910  opnsubg  21911  clssubg  21912  clsnsg  21913  cldsubg  21914  tgpconncompeqg  21915  tgpconncomp  21916  tgpconncompss  21917  snclseqg  21919  tgphaus  21920  tgpt1  21921  tgpt0  21922  qustgpopn  21923  qustgplem  21924  qustgphaus  21926  prdstgpd  21928  tgptsmscld  21954  tsmsxplem1  21956  pl1cn  30001