Theorem tgrest 20963

Description: A subspace can be generated by restricted sets from a basis for the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgrest	|- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Proof of Theorem tgrest

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . . 5 |- ( B ↾t A ) e. _V
2		eltg3 20766	. . . . 5 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) )
4		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> B e. V )
5		funmpt 5926	. . . . . . . . . 10 |- Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
7		restval 16087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( B ↾t A ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
8	7	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( y C_ ( B ↾t A ) <-> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) ) )
9	8	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
10		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
11	10	inex1 4799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) e. _V
12	11	rgenw 2924	. . . . . . . . . . 11 |- A. x e. B ( x i^i A ) e. _V
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
14	13	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. B ( x i^i A ) e. _V -> ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B )
15		fnima 6010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
16	12, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
17	9, 16	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) )
18		ssimaexg 6264	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) /\ y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
19	4, 6, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
20		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z )
21		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z C_ B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
23	22	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
24	20, 23	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
25	24	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
26	11	dfiun3 5380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) )
27	25, 26	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U_ x e. z ( x i^i A ) )
28		iunin1 4585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
29	27, 28	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ( U_ x e. z x i^i A ) )
30		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` B ) e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> A e. W )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> A e. W )
34		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. z = U_ x e. z x
35		eltg3i 20765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U. z e. ( topGen ` B ) )
36	34, 35	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
37	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
38		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W /\ U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
39	31, 33, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
40	29, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
41		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y = U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> ( U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
43	40, 42	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
44	43	expimpd 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
45	44	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
47	19, 46	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
48		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
49	47, 48	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
50	49	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
51	50	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
52	3, 51	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
53	52	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) C_ ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
54		restval 16087	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
55	30, 32, 54	sylancr 695	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
56		eltg3 20766	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
58	34	ineq1i 3810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. z i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
59	58, 28	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. z i^i A ) = U_ x e. z ( x i^i A )
60		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> B e. V )
61		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> A e. W )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> z C_ B )
63	62	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> x e. B )
64		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ A e. W /\ x e. B ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
65	60, 61, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) )
67	65, 66	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) : z --> ( B ↾t A ) )
68		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) : z --> ( B ↾t A ) -> ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) )
70		eltg3i 20765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ↾t A ) e. _V /\ ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
71	1, 69, 70	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
72	26, 71	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z ( x i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
73	59, 72	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
74		ineq1 3807	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = U. z -> ( w i^i A ) = ( U. z i^i A ) )
75	74	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( w = U. z -> ( ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
76	73, 75	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( w = U. z -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
77	76	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
78	77	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
79	57, 78	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
80	79	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ w e. ( topGen ` B ) ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
81		eqid 2622	. . . . 5 |- ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) = ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) )
82	80, 81	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) : ( topGen ` B ) --> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
83		frn 6053	. . . 4 |- ( ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) : ( topGen ` B ) --> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) -> ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
84	82, 83	syl 17	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
85	55, 84	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
86	53, 85	eqssd 3620	1 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083  df-topgen 16104

This theorem is referenced by:  resttop  20964  ordtrest2  21008  2ndcrest  21257  txrest  21434  xkoptsub  21457  xrtgioo  22609  ordtrest2NEW  29969  ptrest  33408