Theorem xrtgioo 22609

Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to RR. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrtgioo.1	|- J = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )

Assertion

Ref	Expression
xrtgioo	|- ( topGen ` ran (,) ) = J

Proof of Theorem xrtgioo

Dummy variables a b c u v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letop 21010	. . . . . . . 8 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
2		ioof 12271	. . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
3		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
5		iooordt 21021	. . . . . . . . . . 11 |- ( x (,) y ) e. (ordTop ` <_ )
6	5	rgen2w 2925	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x (,) y ) e. (ordTop ` <_ )
7		ffnov 6764	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> (ordTop ` <_ ) <-> ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ A. x e. RR* A. y e. RR* ( x (,) y ) e. (ordTop ` <_ ) ) )
8	4, 6, 7	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> (ordTop ` <_ )
9		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> (ordTop ` <_ ) -> ran (,) C_ (ordTop ` <_ ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ran (,) C_ (ordTop ` <_ )
11		tgss 20772	. . . . . . . 8 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ran (,) C_ (ordTop ` <_ ) ) -> ( topGen ` ran (,) ) C_ ( topGen ` (ordTop ` <_ ) ) )
12	1, 10, 11	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) C_ ( topGen ` (ordTop ` <_ ) )
13		tgtop 20777	. . . . . . . 8 |- ( (ordTop ` <_ ) e. Top -> ( topGen ` (ordTop ` <_ ) ) = (ordTop ` <_ ) )
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( topGen ` (ordTop ` <_ ) ) = (ordTop ` <_ )
15	12, 14	sseqtri 3637	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) C_ (ordTop ` <_ )
16	15	sseli 3599	. . . . 5 |- ( x e. ( topGen ` ran (,) ) -> x e. (ordTop ` <_ ) )
17		retopon 22567	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
18		toponss 20731	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ x e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> x C_ RR )
19	17, 18	mpan 706	. . . . 5 |- ( x e. ( topGen ` ran (,) ) -> x C_ RR )
20		reordt 21022	. . . . . 6 |- RR e. (ordTop ` <_ )
21		restopn2 20981	. . . . . 6 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ RR e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( x e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) <-> ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ x C_ RR ) ) )
22	1, 20, 21	mp2an 708	. . . . 5 |- ( x e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) <-> ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ x C_ RR ) )
23	16, 19, 22	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( x e. ( topGen ` ran (,) ) -> x e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
24	23	ssriv 3607	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) C_ ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
25		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ran (,) = ran (,)
28	25, 26, 27	leordtval 21017	. . . . . 6 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) )
29	28	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( ( topGen ` ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ) ↾t RR )
30	28, 1	eqeltrri 2698	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ) e. Top
31		tgclb 20774	. . . . . . 7 |- ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) e. TopBases <-> ( topGen ` ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ) e. Top )
32	30, 31	mpbir 221	. . . . . 6 |- ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) e. TopBases
33		reex 10027	. . . . . 6 |- RR e. _V
34		tgrest 20963	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) e. TopBases /\ RR e. _V ) -> ( topGen ` ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) ) = ( ( topGen ` ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ) ↾t RR ) )
35	32, 33, 34	mp2an 708	. . . . 5 |- ( topGen ` ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) ) = ( ( topGen ` ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ) ↾t RR )
36	29, 35	eqtr4i 2647	. . . 4 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( topGen ` ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) )
37		retopbas 22564	. . . . 5 |- ran (,) e. TopBases
38		elrest 16088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) e. TopBases /\ RR e. _V ) -> ( u e. ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) <-> E. v e. ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) u = ( v i^i RR ) ) )
39	32, 33, 38	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) <-> E. v e. ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) u = ( v i^i RR ) )
40		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) <-> ( v e. ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) \/ v e. ran (,) ) )
41		elun 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) <-> ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) \/ v e. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) )
42		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- v e. _V
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) = ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
44	43	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. _V -> ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) <-> E. x e. RR* v = ( x (,] +oo ) ) )
45	42, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) <-> E. x e. RR* v = ( x (,] +oo ) )
46		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> x e. RR* )
47		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- +oo e. RR*
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> +oo e. RR* )
49		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> y e. RR* )
51		df-ioc 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (,] = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { c e. RR* | ( a < c /\ c <_ b ) } )
52	51	elixx3g 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ( x (,] +oo ) <-> ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* /\ y e. RR* ) /\ ( x < y /\ y <_ +oo ) ) )
53	52	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( y e. ( x (,] +oo ) <-> ( x < y /\ y <_ +oo ) ) )
54	46, 48, 50, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( y e. ( x (,] +oo ) <-> ( x < y /\ y <_ +oo ) ) )
55		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. RR* -> y <_ +oo )
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> y <_ +oo )
57	56	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> ( x < y /\ y <_ +oo ) ) )
58		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. RR -> y < +oo )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> y < +oo )
60	59	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> ( x < y /\ y < +oo ) ) )
61	54, 57, 60	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( y e. ( x (,] +oo ) <-> ( x < y /\ y < +oo ) ) )
62	61	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR* -> ( ( y e. RR /\ y e. ( x (,] +oo ) ) <-> ( y e. RR /\ ( x < y /\ y < +oo ) ) ) )
63		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) <-> ( y e. ( x (,] +oo ) /\ y e. RR ) )
64		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ( x (,] +oo ) /\ y e. RR ) <-> ( y e. RR /\ y e. ( x (,] +oo ) ) )
65	63, 64	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) <-> ( y e. RR /\ y e. ( x (,] +oo ) ) )
66		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR /\ x < y /\ y < +oo ) <-> ( y e. RR /\ ( x < y /\ y < +oo ) ) )
67	62, 65, 66	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR* -> ( y e. ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) <-> ( y e. RR /\ x < y /\ y < +oo ) ) )
68		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( y e. ( x (,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ x < y /\ y < +oo ) ) )
69	47, 68	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR* -> ( y e. ( x (,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ x < y /\ y < +oo ) ) )
70	67, 69	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR* -> ( y e. ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) <-> y e. ( x (,) +oo ) ) )
71	70	eqrdv 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR* -> ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) = ( x (,) +oo ) )
72		ioorebas 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x (,) +oo ) e. ran (,)
73	71, 72	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* -> ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) e. ran (,) )
74		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = ( x (,] +oo ) -> ( v i^i RR ) = ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) )
75	74	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = ( x (,] +oo ) -> ( ( v i^i RR ) e. ran (,) <-> ( ( x (,] +oo ) i^i RR ) e. ran (,) ) )
76	73, 75	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR* -> ( v = ( x (,] +oo ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) ) )
77	76	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. RR* v = ( x (,] +oo ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
78	45, 77	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) = ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
80	79	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. _V -> ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) <-> E. x e. RR* v = ( -oo [,) x ) ) )
81	42, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) <-> E. x e. RR* v = ( -oo [,) x ) )
82		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- -oo e. RR*
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> -oo e. RR* )
84		df-ico 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- [,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { c e. RR* | ( a <_ c /\ c < b ) } )
85	84	elixx3g 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ( -oo [,) x ) <-> ( ( -oo e. RR* /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ ( -oo <_ y /\ y < x ) ) )
86	85	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -oo e. RR* /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( y e. ( -oo [,) x ) <-> ( -oo <_ y /\ y < x ) ) )
87	83, 46, 50, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( y e. ( -oo [,) x ) <-> ( -oo <_ y /\ y < x ) ) )
88		mnfle 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. RR* -> -oo <_ y )
89	50, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> -oo <_ y )
90	89	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( y < x <-> ( -oo <_ y /\ y < x ) ) )
91		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. RR -> -oo < y )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> -oo < y )
93	92	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( y < x <-> ( -oo < y /\ y < x ) ) )
94	87, 90, 93	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR ) -> ( y e. ( -oo [,) x ) <-> ( -oo < y /\ y < x ) ) )
95	94	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR* -> ( ( y e. RR /\ y e. ( -oo [,) x ) ) <-> ( y e. RR /\ ( -oo < y /\ y < x ) ) ) )
96		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) <-> ( y e. ( -oo [,) x ) /\ y e. RR ) )
97		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ( -oo [,) x ) /\ y e. RR ) <-> ( y e. RR /\ y e. ( -oo [,) x ) ) )
98	96, 97	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) <-> ( y e. RR /\ y e. ( -oo [,) x ) ) )
99		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR /\ -oo < y /\ y < x ) <-> ( y e. RR /\ ( -oo < y /\ y < x ) ) )
100	95, 98, 99	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR* -> ( y e. ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) <-> ( y e. RR /\ -oo < y /\ y < x ) ) )
101		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -oo e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( y e. ( -oo (,) x ) <-> ( y e. RR /\ -oo < y /\ y < x ) ) )
102	82, 101	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR* -> ( y e. ( -oo (,) x ) <-> ( y e. RR /\ -oo < y /\ y < x ) ) )
103	100, 102	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR* -> ( y e. ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) <-> y e. ( -oo (,) x ) ) )
104	103	eqrdv 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR* -> ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) = ( -oo (,) x ) )
105		ioorebas 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -oo (,) x ) e. ran (,)
106	104, 105	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* -> ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) e. ran (,) )
107		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = ( -oo [,) x ) -> ( v i^i RR ) = ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) )
108	107	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = ( -oo [,) x ) -> ( ( v i^i RR ) e. ran (,) <-> ( ( -oo [,) x ) i^i RR ) e. ran (,) ) )
109	106, 108	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR* -> ( v = ( -oo [,) x ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) ) )
110	109	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. RR* v = ( -oo [,) x ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
111	81, 110	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
112	78, 111	jaoi 394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) \/ v e. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
113	41, 112	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
114		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
115		unirnioo 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR = U. ran (,)
116	114, 115	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
117		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ RR <-> ( v i^i RR ) = v )
118	116, 117	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ran (,) -> ( v i^i RR ) = v )
119		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ran (,) -> v e. ran (,) )
120	118, 119	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ran (,) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
121	113, 120	jaoi 394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) \/ v e. ran (,) ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
122	40, 121	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) -> ( v i^i RR ) e. ran (,) )
123		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v i^i RR ) -> ( u e. ran (,) <-> ( v i^i RR ) e. ran (,) ) )
124	122, 123	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) -> ( u = ( v i^i RR ) -> u e. ran (,) ) )
125	124	rexlimiv 3027	. . . . . . 7 |- ( E. v e. ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) u = ( v i^i RR ) -> u e. ran (,) )
126	39, 125	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( u e. ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) -> u e. ran (,) )
127	126	ssriv 3607	. . . . 5 |- ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) C_ ran (,)
128		tgss 20772	. . . . 5 |- ( ( ran (,) e. TopBases /\ ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) C_ ran (,) ) -> ( topGen ` ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) ) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
129	37, 127, 128	mp2an 708	. . . 4 |- ( topGen ` ( ( ( ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) ) u. ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) ) ) u. ran (,) ) ↾t RR ) ) C_ ( topGen ` ran (,) )
130	36, 129	eqsstri 3635	. . 3 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) C_ ( topGen ` ran (,) )
131	24, 130	eqssi 3619	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
132		xrtgioo.1	. 2 |- J = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
133	131, 132	eqtr4i 2647	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J

Syntax hints:   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  xrrest  22610  xrsmopn  22615  xrge0tsms  22637  metdcn2  22642  xrge0tsmsd  29785  xrtgcntopre  39709  xrtgioo2  39799