Theorem resttop 20964

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. A is normally a subset of the base set of J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 20963	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( ( topGen ` J ) ↾t A ) )
2		tgtop 20777	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` J ) = J )
4	3	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( ( topGen ` J ) ↾t A ) = ( J ↾t A ) )
5	1, 4	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( J ↾t A ) )
6		topbas 20776	. . . 4 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> J e. TopBases )
8		restbas 20962	. . 3 |- ( J e. TopBases -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
9		tgcl 20773	. . 3 |- ( ( J ↾t A ) e. TopBases -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
10	7, 8, 9	3syl 18	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
11	5, 10	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  resttopon  20965  resttopon2  20972  rest0  20973  restcld  20976  neitr  20984  restcls  20985  restntr  20986  ordtrest  21006  cmpsub  21203  fiuncmp  21207  1stcrest  21256  subislly  21284  llyrest  21288  nllyrest  21289  toplly  21293  cldllycmp  21298  kgencmp2  21349  llycmpkgen2  21353  1stckgen  21357  txkgen  21455  cnextfres1  21872  zdis  22619  cnmpt2pc  22727  dvbss  23665  dvreslem  23673  dvres2lem  23674  dvcnp2  23683  dvmptres  23726  ulmdvlem3  24156  psercn  24180  abelth  24195  ordtrestNEW  29967  cvxpconn  31224  cvmscld  31255  ptrest  33408  poimirlem29  33438  cnambfre  33458  limcresiooub  39874  limcresioolb  39875  cncfuni  40099  cncfiooicclem1  40106  fourierdlem32  40356  fourierdlem33  40357  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fouriersw  40448