Theorem tskord 9602

Description: A Tarski class contains all ordinals smaller than it. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskord	|- ( ( T e. Tarski /\ A e. On /\ A ~< T ) -> A e. T )

Proof of Theorem tskord

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x ~< T <-> y ~< T ) )
2	1	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( T e. Tarski /\ x ~< T ) <-> ( T e. Tarski /\ y ~< T ) ) )
3		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. T <-> y e. T ) )
4	2, 3	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( T e. Tarski /\ x ~< T ) -> x e. T ) <-> ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> y e. T ) ) )
5		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ~< T <-> A ~< T ) )
6	5	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( T e. Tarski /\ x ~< T ) <-> ( T e. Tarski /\ A ~< T ) ) )
7		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. T <-> A e. T ) )
8	6, 7	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( T e. Tarski /\ x ~< T ) -> x e. T ) <-> ( ( T e. Tarski /\ A ~< T ) -> A e. T ) ) )
9		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) /\ y e. x ) -> T e. Tarski )
10		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( y e. x -> y C_ x ) )
11		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( y C_ x -> y ~<_ x ) )
12	10, 11	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( y e. x -> y ~<_ x ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
14	13	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
15		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) /\ y e. x ) -> x ~< T )
16		domsdomtr 8095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~<_ x /\ x ~< T ) -> y ~< T )
17	14, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) /\ y e. x ) -> y ~< T )
18		pm2.27 42	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> ( ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> y e. T ) -> y e. T ) )
19	9, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> y e. T ) -> y e. T ) )
20	19	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) -> ( A. y e. x ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> y e. T ) -> A. y e. x y e. T ) )
21		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ T <-> A. y e. x y e. T )
22		tskssel 9579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. Tarski /\ x C_ T /\ x ~< T ) -> x e. T )
23	22	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. Tarski -> ( x C_ T -> ( x ~< T -> x e. T ) ) )
24	21, 23	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. Tarski -> ( A. y e. x y e. T -> ( x ~< T -> x e. T ) ) )
25	24	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( T e. Tarski -> ( x ~< T -> ( A. y e. x y e. T -> x e. T ) ) )
26	25	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. Tarski /\ x ~< T ) -> ( A. y e. x y e. T -> x e. T ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) -> ( A. y e. x y e. T -> x e. T ) )
28	20, 27	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ ( T e. Tarski /\ x ~< T ) ) -> ( A. y e. x ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> y e. T ) -> x e. T ) )
29	28	ex 450	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( ( T e. Tarski /\ x ~< T ) -> ( A. y e. x ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> y e. T ) -> x e. T ) ) )
30	29	com23 86	. . . 4 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( T e. Tarski /\ y ~< T ) -> y e. T ) -> ( ( T e. Tarski /\ x ~< T ) -> x e. T ) ) )
31	4, 8, 30	tfis3 7057	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( T e. Tarski /\ A ~< T ) -> A e. T ) )
32	31	3impib 1262	. 2 |- ( ( A e. On /\ T e. Tarski /\ A ~< T ) -> A e. T )
33	32	3com12 1269	1 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. On /\ A ~< T ) -> A e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Oncon0 5723   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Tarskictsk 9570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-tsk 9571

This theorem is referenced by:  tskcard  9603