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Theorem ulm2 24139
Description: Simplify ulmval 24134 when F and G are known to be functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulm2.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulm2.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulm2.b |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = B )
ulm2.a |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = A )
ulm2.g |- ( ph -> G : S --> CC )
ulm2.s |- ( ph -> S e. V )
Assertion
Ref Expression
ulm2 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
Distinct variable groups:   j, k, x, z, F   j, G, k, x, z   j, M, k, x, z   ph, j, k, x, z   A, j, k, x   x, B   S, j, k, x, z   j, Z, x
Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, j, k)   V( x, z, j, k)   Z( z, k)
Proof of Theorem ulm2
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulm2.s . . 3 |- ( ph -> S e. V )
2 ulmval 24134 . . 3 |- ( S e. V -> ( F ( ~~> u ` S ) G <-> E. n e. ZZ ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ G : S --> CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) ) )
31, 2syl 17 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G <-> E. n e. ZZ ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ G : S --> CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) ) )
4 3anan12 1051 . . . 4 |- ( ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ G : S --> CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) <-> ( G : S --> CC /\ ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) ) )
5 ulm2.z . . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6 ulm2.f . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
7 fdm 6051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Z --> ( CC ^m S ) -> dom F = Z )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = Z )
9 fdm 6051 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) -> dom F = ( ZZ>= ` n ) )
108, 9sylan9req 2677 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) ) -> Z = ( ZZ>= ` n ) )
115, 10syl5eqr 2670 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` n ) )
12 ulm2.m . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) ) -> M e. ZZ )
14 uz11 11710 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` n ) <-> M = n ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) ) -> ( ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` n ) <-> M = n ) )
1611, 15mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) ) -> M = n )
1716eqcomd 2628 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) ) -> n = M )
18 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` M ) )
1918, 5syl6eqr 2674 . . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( ZZ>= ` n ) = Z )
2019feq2d 6031 . . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) <-> F : Z --> ( CC ^m S ) ) )
2120biimparc 504 . . . . . . . 8 |- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ n = M ) -> F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) )
226, 21sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = M ) -> F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) )
2317, 22impbida 877 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) <-> n = M ) )
2423anbi1d 741 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) <-> ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) ) )
25 ulm2.g . . . . . 6 |- ( ph -> G : S --> CC )
2625biantrurd 529 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) <-> ( G : S --> CC /\ ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) ) ) )
27 simp-4l 806 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ph )
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n = M ) -> n = M )
29 uzid 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3012, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3130, 5syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. Z )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n = M ) -> M e. Z )
3328, 32eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n = M ) -> n e. Z )
345uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> j e. Z )
3533, 34sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> j e. Z )
365uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3735, 36sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> k e. Z )
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> z e. S )
40 ulm2.b . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = B )
4127, 38, 39, 40syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = B )
42 ulm2.a . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = A )
4327, 42sylancom 701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = A )
4441, 43oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( B - A ) )
4544fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) )
4645breq1d 4663 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
4746ralbidva 2985 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
4847ralbidva 2985 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n = M ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
4948rexbidva 3049 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = M ) -> ( E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
5049ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = M ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
5150pm5.32da 673 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) <-> ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
5224, 26, 513bitr3d 298 . . . 4 |- ( ph -> ( ( G : S --> CC /\ ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) ) <-> ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
534, 52syl5bb 272 . . 3 |- ( ph -> ( ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ G : S --> CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) <-> ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
5453rexbidv 3052 . 2 |- ( ph -> ( E. n e. ZZ ( F : ( ZZ>= ` n ) --> ( CC ^m S ) /\ G : S --> CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) <-> E. n e. ZZ ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
5519rexeqdv 3145 . . . . 5 |- ( n = M -> ( E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
5655ralbidv 2986 . . . 4 |- ( n = M -> ( A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
5756ceqsrexv 3336 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
5812, 57syl 17 . 2 |- ( ph -> ( E. n e. ZZ ( n = M /\ A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
593, 54, 583bitrd 294 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> uculm 24130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-ulm 24131
This theorem is referenced by:  ulmi  24140  ulmclm  24141  ulmres  24142  ulmshftlem  24143  ulm0  24145  ulmcau  24149  ulmss  24151
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