ulmcau - Metamath Proof Explorer

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Theorem ulmcau 24149

Description: A sequence of functions converges uniformly iff it is uniformly Cauchy, which is to say that for every

there is a

such that for all

the functions

and

are uniformly within

of each other on

. This is the four-quantifier version, see ulmcau2 24150 for the more conventional five-quantifier version. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ulmcau.z
ulmcau.m
ulmcau.s
ulmcau.f

**Assertion**
Ref	Expression
ulmcau

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem ulmcau Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5319	. . . 4
2	1	ibi 256	. . 3
3		ulmcau.z	. . . . . . . 8
4		ulmcau.m	. . . . . . . . 9
5	4	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6		ulmcau.f	. . . . . . . . 9
7	6	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
8		eqidd 2623	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		eqidd 2623	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		simplr 792	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11		rphalfcl 11858	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
13	3, 5, 7, 8, 9, 10, 12	ulmi 24140	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
14		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
15	14, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
16		eluzelz 11697	. . . . . . . . . 10
17		uzid 11702	. . . . . . . . . 10
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	18	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11
24	23	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10
25	15, 16, 17, 24	4syl 19	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
26		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
27	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		ulmcl 24135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
33	32	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	33	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	31, 34	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	36	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
39		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
40	7, 38, 39	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	43	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
46	45	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		abs3lem 14078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	44, 31, 34, 46, 47	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	37, 48	sylan2d 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	26, 51	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	com23 86	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
58	25, 57	mpdd 43	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
59	58	reximdva 3017	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
60	13, 59	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61	60	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$
62	61	ex 450	. . . 4
63	62	exlimdv 1861	. . 3
64	2, 63	syl5 34	. 2
65		ulmrel 24132	. . . 4
66		ulmcau.s	. . . . . . . . . 10
67	3, 4, 66, 6	ulmcaulem 24148	. . . . . . . . 9
68	67	biimpa 501	. . . . . . . 8 $/\$
69		rphalfcl 11858	. . . . . . . 8
70		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13
71	70	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12
72	71	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . . 11
73	72	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10
74		ralcom 3098	. . . . . . . . . . . . . 14
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	76, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	79	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81	80	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83	82	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86	85	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87	86	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88	81, 87	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	75, 88	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . 14
90	74, 89	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . 13
91	90	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12
92		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
93	92	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12
94	91, 93	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11
95	94	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10
96	73, 95	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9
97	96	rspccva 3308	. . . . . . . 8 $/\$
98	68, 69, 97	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
99	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
101		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	101, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15
103	102	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105	104	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
108	106, 107	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
113	110, 111, 112	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	108, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
116	115	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
117		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
119	118	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
121		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
122	120, 121	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123	122	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
124		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
125		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
126	124, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
128	127	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
129	128	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
130	129	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
131	130	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
132	131	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133	132	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
134	133	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
135		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
138	137	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
139	138	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
140		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
141	140	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
143	142	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
144	92, 143	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
145	139, 144	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
146	145	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
147		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
148	147	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
149		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
150	148, 121, 149	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
151	38, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
152		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
153	152	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
154		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
155	153, 121, 154	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
157	151, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
158	157	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
159	158	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
160	159	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
161	160	rexbiia 3040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
162	146, 161	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
163		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
164	163	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
165	164	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
166	162, 165	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
167	166	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
168	134, 167	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
169		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
170	3, 169	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
171	170	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
173	3, 123, 168, 172	caucvg 14409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
174	173	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
175	174	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
176		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
177	176	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178	177	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
179	178	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
180	175, 179	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181		climdm 14285	. . . . . . . . . . . . . . 15
182	180, 181	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	100, 103, 105, 114, 182	climi2 14242	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	100	r19.29uz 14090	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
185	100	r19.2uz 14091	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
186	184, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
187	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
188	187	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
189		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
190	188, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
191	190	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	191	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193		climcl 14230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194	182, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
195	194	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	6	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	196, 108	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	199, 200	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
203	202	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204		abs3lem 14078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	192, 195, 201, 203, 204	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	186, 206	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	183, 207	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
209	208	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
210	99, 209	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	210	anassrs 680	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
212	211	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	reximdva 3017	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
214	98, 213	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$
215	214	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$
216	4	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
217		eqidd 2623	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
218	177	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
219		eqid 2622	. . . . . . . 8
220		fvex 6201	. . . . . . . 8
221	218, 219, 220	fvmpt 6282	. . . . . . 7
222	221	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
223		climdm 14285	. . . . . . . . 9
224	173, 223	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
225		climcl 14230	. . . . . . . 8
226	224, 225	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
227	226, 219	fmptd 6385	. . . . . 6 $/\$
228	66	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
229	3, 216, 115, 217, 222, 227, 228	ulm2 24139	. . . . 5 $/\$
230	215, 229	mpbird 247	. . . 4 $/\$
231		releldm 5358	. . . 4 $/\$
232	65, 230, 231	sylancr 695	. . 3 $/\$
233	232	ex 450	. 2
234	64, 233	impbid 202	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

wrel 5119

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

clt 10074

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cabs 13974

cli 14215

culm 24130

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-ulm 24131

This theorem is referenced by: ulmcau2 24150 mtest 24158

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