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Theorem ulmshftlem 24143
Description: Lemma for ulmshft 24144. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmshft.w |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
ulmshft.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmshft.k |- ( ph -> K e. ZZ )
ulmshft.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmshft.h |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )
Distinct variable groups:   ph, n   n, W   n, F   n, K   S, n
Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   M( n)   Z( n)
Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables i j k m x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2 ulmshft.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
32ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4 ulmshft.f . . . . . . 7 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
54ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
6 eqidd 2623 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
7 eqidd 2623 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
8 simplr 792 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
9 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 24140 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
11 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. Z )
1211, 1syl6eleq 2711 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ZZ )
1413ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> K e. ZZ )
15 eluzadd 11716 . . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
1816, 17syl6eleqr 2712 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. W )
19 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> i e. ZZ )
2213adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> K e. ZZ )
2322ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> K e. ZZ )
24 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
25 eluzsub 11717 . . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
27 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - K ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k - K ) ) )
2827fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
2928oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) )
3029fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - K ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
3130breq1d 4663 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3231ralbidv 2986 . . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k - K ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3332rspcv 3305 . . . . . . . . 9 |- ( ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3426, 33syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3534ralrimdva 2969 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
36 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( j = ( i + K ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
3736raleqdv 3144 . . . . . . . 8 |- ( j = ( i + K ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3837rspcev 3309 . . . . . . 7 |- ( ( ( i + K ) e. W /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
3918, 35, 38syl6an 568 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
4039rexlimdva 3031 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
4110, 40mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
4241ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
432, 13zaddcld 11486 . . . . 5 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4443adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( M + K ) e. ZZ )
454adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
462adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> M e. ZZ )
4713adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> K e. ZZ )
48 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. W )
4948, 17syl6eleq 2711 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
50 eluzsub 11717 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5146, 47, 49, 50syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5251, 1syl6eleqr 2712 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. Z )
5345, 52ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( F ` ( n - K ) ) e. ( CC ^m S ) )
54 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) )
5553, 54fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) )
56 ulmshft.h . . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
5756feq1d 6030 . . . . . 6 |- ( ph -> ( H : W --> ( CC ^m S ) <-> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) ) )
5855, 57mpbird 247 . . . . 5 |- ( ph -> H : W --> ( CC ^m S ) )
5958adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H : W --> ( CC ^m S ) )
6056ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
6160fveq1d 6193 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) )
62 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n - K ) = ( k - K ) )
6362fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` ( n - K ) ) = ( F ` ( k - K ) ) )
64 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( F ` ( k - K ) ) e. _V
6563, 54, 64fvmpt 6282 . . . . . . 7 |- ( k e. W -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6665ad2antrl 764 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6761, 66eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6867fveq1d 6193 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( H ` k ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
69 eqidd 2623 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
70 ulmcl 24135 . . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
7170adantl 482 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> G : S --> CC )
72 ulmscl 24133 . . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> S e. _V )
7372adantl 482 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> S e. _V )
7417, 44, 59, 68, 69, 71, 73ulm2 24139 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( H ( ~~> u ` S ) G <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
7542, 74mpbird 247 . 2 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H ( ~~> u ` S ) G )
7675ex 450 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> uculm 24130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ulm 24131
This theorem is referenced by:  ulmshft  24144
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