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Theorem unb2ltle 39642
Description: "Unbounded below" expressed with < and with <_. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
unb2ltle |- ( A C_ RR* -> ( A. w e. RR E. y e. A y < w <-> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) )
Distinct variable group:   w, A, x, y
Proof of Theorem unb2ltle
StepHypRef Expression
1 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ w A C_ RR*
2 nfra1 2941 . . . . . 6 |- F/ w A. w e. RR E. y e. A y < w
31, 2nfan 1828 . . . . 5 |- F/ w ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w )
4 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> A C_ RR* )
5 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> w e. RR )
6 rspa 2930 . . . . . . 7 |- ( ( A. w e. RR E. y e. A y < w /\ w e. RR ) -> E. y e. A y < w )
76adantll 750 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y < w )
8 ssel2 3598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
98ad4ant13 1292 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> y e. RR* )
10 simpllr 799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> w e. RR )
1110rexrd 10089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> w e. RR* )
12 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> y < w )
139, 11, 12xrltled 39486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> y <_ w )
1413ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y < w -> y <_ w ) )
1514reximdva 3017 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) -> ( E. y e. A y < w -> E. y e. A y <_ w ) )
1615imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ E. y e. A y < w ) -> E. y e. A y <_ w )
174, 5, 7, 16syl21anc 1325 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y <_ w )
183, 17ralrimia 39315 . . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) -> A. w e. RR E. y e. A y <_ w )
19 breq2 4657 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( y <_ w <-> y <_ x ) )
2019rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( w = x -> ( E. y e. A y <_ w <-> E. y e. A y <_ x ) )
2120cbvralv 3171 . . . 4 |- ( A. w e. RR E. y e. A y <_ w <-> A. x e. RR E. y e. A y <_ x )
2218, 21sylib 208 . . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) -> A. x e. RR E. y e. A y <_ x )
2322ex 450 . 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. w e. RR E. y e. A y < w -> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) )
24 simpll 790 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> A C_ RR* )
25 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> w e. RR )
26 peano2rem 10348 . . . . . . . 8 |- ( w e. RR -> ( w - 1 ) e. RR )
2726adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x /\ w e. RR ) -> ( w - 1 ) e. RR )
28 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x /\ w e. RR ) -> A. x e. RR E. y e. A y <_ x )
29 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( w - 1 ) -> ( y <_ x <-> y <_ ( w - 1 ) ) )
3029rexbidv 3052 . . . . . . . 8 |- ( x = ( w - 1 ) -> ( E. y e. A y <_ x <-> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) ) )
3130rspcva 3307 . . . . . . 7 |- ( ( ( w - 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) -> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) )
3227, 28, 31syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x /\ w e. RR ) -> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) )
3332adantll 750 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) )
348ad4ant13 1292 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> y e. RR* )
35 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> w e. RR )
3626rexrd 10089 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. RR -> ( w - 1 ) e. RR* )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> ( w - 1 ) e. RR* )
3835rexrd 10089 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> w e. RR* )
39 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> y <_ ( w - 1 ) )
4035ltm1d 10956 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> ( w - 1 ) < w )
4134, 37, 38, 39, 40xrlelttrd 11991 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> y < w )
4241ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y <_ ( w - 1 ) -> y < w ) )
4342reximdva 3017 . . . . . 6 |- ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) -> ( E. y e. A y <_ ( w - 1 ) -> E. y e. A y < w ) )
4443imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ E. y e. A y <_ ( w - 1 ) ) -> E. y e. A y < w )
4524, 25, 33, 44syl21anc 1325 . . . 4 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y < w )
4645ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) -> A. w e. RR E. y e. A y < w )
4746ex 450 . 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x -> A. w e. RR E. y e. A y < w ) )
4823, 47impbid 202 1 |- ( A C_ RR* -> ( A. w e. RR E. y e. A y < w <-> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269
This theorem is referenced by:  infxrunb3  39651
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