Theorem xrlelttrd 11991

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xrlttrd.2	|- ( ph -> B e. RR* )
xrlttrd.3	|- ( ph -> C e. RR* )
xrlelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
xrlelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		xrlelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		xrlttrd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrlttrd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrlttrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
6		xrlelttr 11987	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 715	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xlt2add  12090  ixxub  12196  elioc2  12236  elicc2  12238  limsupgre  14212  xrsdsreclblem  19792  mnfnei  21025  blgt0  22204  xblss2ps  22206  xblss2  22207  metustexhalf  22361  tgioo  22599  blcvx  22601  xrge0tsms  22637  metdcnlem  22639  metdscnlem  22658  ioombl  23333  uniioombllem1  23349  dvferm2lem  23749  dvlip2  23758  ftc1a  23800  coe1mul3  23859  ply1remlem  23922  pserulm  24176  isblo3i  27656  xrge0infss  29525  iocinioc2  29541  xrge0tsmsd  29785  sibfinima  30401  heicant  33444  itg2gt0cn  33465  ftc1anclem7  33491  ftc1anc  33493  idomrootle  37773  supxrgelem  39553  supxrge  39554  xralrple2  39570  infxr  39583  infleinflem2  39587  xrralrecnnle  39602  unb2ltle  39642  eliocre  39734  iocopn  39746  ge0lere  39759  iccdificc  39766  limsupre  39873  limsuppnflem  39942  limsupre3lem  39964  xlimmnfv  40060  fourierdlem27  40351  sge0isum  40644  meassre  40694  meaiuninclem  40697  omessre  40724  omeiunltfirp  40733  sge0hsphoire  40803  hoidmv1lelem1  40805  hoidmv1lelem2  40806  hoidmv1lelem3  40807  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem4  40812  pimiooltgt  40921  pimincfltioc  40926  preimaleiinlt  40931