Theorem wemapsolem 8455

Description: Lemma for wemapso 8456. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
wemapsolem.1	|- U C_ ( B ^m A )
wemapsolem.2	|- ( ph -> A e. _V )
wemapsolem.3	|- ( ph -> R Or A )
wemapsolem.4	|- ( ph -> S Or B )
wemapsolem.5	|- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> E. c e. dom ( a \ b ) A. d e. dom ( a \ b ) -. d R c )

Assertion

Ref	Expression
wemapsolem	|- ( ph -> T Or U )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, x, B   T, a, b, c, d   U, a, b, c, d   w, a, y, z, b, c, x, A, d   R, a, b, c, d, w, x, y, z   S, a, b, c, d, w, x, y, z   ph, a, b, c, d

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   B( y, z, w)   T( x, y, z, w)   U( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemapsolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapsolem.1	. . 3 |- U C_ ( B ^m A )
2		wemapsolem.2	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
3		wemapsolem.3	. . . 4 |- ( ph -> R Or A )
4		wemapsolem.4	. . . . 5 |- ( ph -> S Or B )
5		sopo 5052	. . . . 5 |- ( S Or B -> S Po B )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> S Po B )
7		wemapso.t	. . . . 5 |- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
8	7	wemappo 8454	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ R Or A /\ S Po B ) -> T Po ( B ^m A ) )
9	2, 3, 6, 8	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> T Po ( B ^m A ) )
10		poss 5037	. . 3 |- ( U C_ ( B ^m A ) -> ( T Po ( B ^m A ) -> T Po U ) )
11	1, 9, 10	mpsyl 68	. 2 |- ( ph -> T Po U )
12		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( a =/= b <-> -. a = b )
13		wemapsolem.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> E. c e. dom ( a \ b ) A. d e. dom ( a \ b ) -. d R c )
14		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> a e. U )
15	1, 14	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> a e. ( B ^m A ) )
16		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ( B ^m A ) -> a : A --> B )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> a : A --> B )
18		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a : A --> B -> a Fn A )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> a Fn A )
20		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> b e. U )
21	1, 20	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> b e. ( B ^m A ) )
22		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ( B ^m A ) -> b : A --> B )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> b : A --> B )
24		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b : A --> B -> b Fn A )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> b Fn A )
26		fndmdif 6321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a Fn A /\ b Fn A ) -> dom ( a \ b ) = { x e. A | ( a ` x ) =/= ( b ` x ) } )
27	19, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> dom ( a \ b ) = { x e. A | ( a ` x ) =/= ( b ` x ) } )
28	27	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( c e. dom ( a \ b ) <-> c e. { x e. A | ( a ` x ) =/= ( b ` x ) } ) )
29		nesym 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` x ) =/= ( b ` x ) <-> -. ( b ` x ) = ( a ` x ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = c -> ( b ` x ) = ( b ` c ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = c -> ( a ` x ) = ( a ` c ) )
32	30, 31	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = c -> ( ( b ` x ) = ( a ` x ) <-> ( b ` c ) = ( a ` c ) ) )
33	32	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = c -> ( -. ( b ` x ) = ( a ` x ) <-> -. ( b ` c ) = ( a ` c ) ) )
34	29, 33	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = c -> ( ( a ` x ) =/= ( b ` x ) <-> -. ( b ` c ) = ( a ` c ) ) )
35	34	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. { x e. A | ( a ` x ) =/= ( b ` x ) } <-> ( c e. A /\ -. ( b ` c ) = ( a ` c ) ) )
36	28, 35	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( c e. dom ( a \ b ) <-> ( c e. A /\ -. ( b ` c ) = ( a ` c ) ) ) )
37	27	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( d e. dom ( a \ b ) <-> d e. { x e. A | ( a ` x ) =/= ( b ` x ) } ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = d -> ( b ` x ) = ( b ` d ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = d -> ( a ` x ) = ( a ` d ) )
40	38, 39	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = d -> ( ( b ` x ) = ( a ` x ) <-> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) )
41	40	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = d -> ( -. ( b ` x ) = ( a ` x ) <-> -. ( b ` d ) = ( a ` d ) ) )
42	29, 41	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = d -> ( ( a ` x ) =/= ( b ` x ) <-> -. ( b ` d ) = ( a ` d ) ) )
43	42	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. { x e. A | ( a ` x ) =/= ( b ` x ) } <-> ( d e. A /\ -. ( b ` d ) = ( a ` d ) ) )
44	37, 43	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( d e. dom ( a \ b ) <-> ( d e. A /\ -. ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
45	44	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( ( d e. dom ( a \ b ) -> -. d R c ) <-> ( ( d e. A /\ -. ( b ` d ) = ( a ` d ) ) -> -. d R c ) ) )
46		impexp 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( d e. A /\ -. ( b ` d ) = ( a ` d ) ) -> -. d R c ) <-> ( d e. A -> ( -. ( b ` d ) = ( a ` d ) -> -. d R c ) ) )
47		con34b 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) <-> ( -. ( b ` d ) = ( a ` d ) -> -. d R c ) )
48	47	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( d e. A -> ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) <-> ( d e. A -> ( -. ( b ` d ) = ( a ` d ) -> -. d R c ) ) )
49	46, 48	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. A /\ -. ( b ` d ) = ( a ` d ) ) -> -. d R c ) <-> ( d e. A -> ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
50	45, 49	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( ( d e. dom ( a \ b ) -> -. d R c ) <-> ( d e. A -> ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
51	50	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( A. d e. dom ( a \ b ) -. d R c <-> A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
52	36, 51	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( ( c e. dom ( a \ b ) /\ A. d e. dom ( a \ b ) -. d R c ) <-> ( ( c e. A /\ -. ( b ` c ) = ( a ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
53		anass 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( c e. A /\ -. ( b ` c ) = ( a ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) <-> ( c e. A /\ ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
54	52, 53	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( ( c e. dom ( a \ b ) /\ A. d e. dom ( a \ b ) -. d R c ) <-> ( c e. A /\ ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) ) )
55	54	rexbidv2 3048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( E. c e. dom ( a \ b ) A. d e. dom ( a \ b ) -. d R c <-> E. c e. A ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
56	13, 55	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> E. c e. A ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
57	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) /\ c e. A ) -> S Or B )
58	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) /\ c e. A ) -> ( b ` c ) e. B )
59	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) /\ c e. A ) -> ( a ` c ) e. B )
60		sotrieq 5062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S Or B /\ ( ( b ` c ) e. B /\ ( a ` c ) e. B ) ) -> ( ( b ` c ) = ( a ` c ) <-> -. ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) ) )
61	60	con2bid 344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Or B /\ ( ( b ` c ) e. B /\ ( a ` c ) e. B ) ) -> ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) <-> -. ( b ` c ) = ( a ` c ) ) )
62	61	biimprd 238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Or B /\ ( ( b ` c ) e. B /\ ( a ` c ) e. B ) ) -> ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) -> ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) ) )
63	57, 58, 59, 62	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) /\ c e. A ) -> ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) -> ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) ) )
64	63	anim1d 588	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) /\ c e. A ) -> ( ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) -> ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
65	64	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( E. c e. A ( -. ( b ` c ) = ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) -> E. c e. A ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
66	56, 65	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> E. c e. A ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
67		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- b e. _V
68		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
69	7	wemaplem1 8451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. _V /\ a e. _V ) -> ( b T a <-> E. c e. A ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
70	67, 68, 69	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( b T a <-> E. c e. A ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
71	7	wemaplem1 8451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. _V /\ b e. _V ) -> ( a T b <-> E. c e. A ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) ) )
72	68, 67, 71	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( a T b <-> E. c e. A ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) )
73	70, 72	orbi12i 543	. . . . . . . 8 |- ( ( b T a \/ a T b ) <-> ( E. c e. A ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ E. c e. A ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) ) )
74		r19.43 3093	. . . . . . . 8 |- ( E. c e. A ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) ) <-> ( E. c e. A ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ E. c e. A ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) ) )
75		andir 912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) <-> ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) )
76		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b ` d ) = ( a ` d ) <-> ( a ` d ) = ( b ` d ) )
77	76	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) <-> ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) )
78	77	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) <-> A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) )
79	78	anbi2i 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) <-> ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) )
80	79	orbi2i 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) ) <-> ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) ) )
81	75, 80	bitr2i 265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) ) <-> ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
82	81	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. c e. A ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) \/ ( ( a ` c ) S ( b ` c ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) ) <-> E. c e. A ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
83	73, 74, 82	3bitr2i 288	. . . . . . 7 |- ( ( b T a \/ a T b ) <-> E. c e. A ( ( ( b ` c ) S ( a ` c ) \/ ( a ` c ) S ( b ` c ) ) /\ A. d e. A ( d R c -> ( b ` d ) = ( a ` d ) ) ) )
84	66, 83	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( a e. U /\ b e. U ) /\ a =/= b ) ) -> ( b T a \/ a T b ) )
85	84	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. U /\ b e. U ) ) -> ( a =/= b -> ( b T a \/ a T b ) ) )
86	12, 85	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. U /\ b e. U ) ) -> ( -. a = b -> ( b T a \/ a T b ) ) )
87	86	orrd 393	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. U /\ b e. U ) ) -> ( a = b \/ ( b T a \/ a T b ) ) )
88		3orrot 1044	. . . 4 |- ( ( a T b \/ a = b \/ b T a ) <-> ( a = b \/ b T a \/ a T b ) )
89		3orass 1040	. . . 4 |- ( ( a = b \/ b T a \/ a T b ) <-> ( a = b \/ ( b T a \/ a T b ) ) )
90	88, 89	bitr2i 265	. . 3 |- ( ( a = b \/ ( b T a \/ a T b ) ) <-> ( a T b \/ a = b \/ b T a ) )
91	87, 90	sylib 208	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. U /\ b e. U ) ) -> ( a T b \/ a = b \/ b T a ) )
92	11, 91	issod 5065	1 |- ( ph -> T Or U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   {copab 4712   Po wpo 5033   Or wor 5034   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  wemapso  8456  wemapso2lem  8457