Theorem wunfi 9543

Description: A weak universe contains all finite sets with elements drawn from the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	|- ( ph -> U e. WUni )
wunfi.2	|- ( ph -> A C_ U )
wunfi.3	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
wunfi	|- ( ph -> A e. U )

Proof of Theorem wunfi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunfi.2	. 2 |- ( ph -> A C_ U )
2		wunfi.3	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ U <-> (/) C_ U ) )
4		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. U <-> (/) e. U ) )
5	3, 4	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ U -> x e. U ) <-> ( (/) C_ U -> (/) e. U ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ph -> ( x C_ U -> x e. U ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ U -> (/) e. U ) ) ) )
7		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ U <-> y C_ U ) )
8		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. U <-> y e. U ) )
9	7, 8	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x C_ U -> x e. U ) <-> ( y C_ U -> y e. U ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( x C_ U -> x e. U ) ) <-> ( ph -> ( y C_ U -> y e. U ) ) ) )
11		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ U <-> ( y u. { z } ) C_ U ) )
12		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x e. U <-> ( y u. { z } ) e. U ) )
13	11, 12	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( x C_ U -> x e. U ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ U -> ( y u. { z } ) e. U ) ) )
14	13	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( x C_ U -> x e. U ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ U -> ( y u. { z } ) e. U ) ) ) )
15		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ U <-> A C_ U ) )
16		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x e. U <-> A e. U ) )
17	15, 16	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x C_ U -> x e. U ) <-> ( A C_ U -> A e. U ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ph -> ( x C_ U -> x e. U ) ) <-> ( ph -> ( A C_ U -> A e. U ) ) ) )
19		wun0.1	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. WUni )
20	19	wun0 9540	. . . . 5 |- ( ph -> (/) e. U )
21	20	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ U -> (/) e. U ) )
22		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
23		sstr 3611	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ U ) -> y C_ U )
24	22, 23	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( y u. { z } ) C_ U -> y C_ U )
25	24	imim1i 63	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ U -> y e. U ) -> ( ( y u. { z } ) C_ U -> y e. U ) )
26	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y u. { z } ) C_ U /\ y e. U ) ) -> U e. WUni )
27		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y u. { z } ) C_ U /\ y e. U ) ) -> y e. U )
28		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y u. { z } ) C_ U /\ y e. U ) ) -> ( y u. { z } ) C_ U )
29	28	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y u. { z } ) C_ U /\ y e. U ) ) -> { z } C_ U )
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
31	30	snss 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U <-> { z } C_ U )
32	29, 31	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y u. { z } ) C_ U /\ y e. U ) ) -> z e. U )
33	26, 32	wunsn 9538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y u. { z } ) C_ U /\ y e. U ) ) -> { z } e. U )
34	26, 27, 33	wunun 9532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y u. { z } ) C_ U /\ y e. U ) ) -> ( y u. { z } ) e. U )
35	34	exp32 631	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ U -> ( y e. U -> ( y u. { z } ) e. U ) ) )
36	35	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( y u. { z } ) C_ U -> y e. U ) -> ( ( y u. { z } ) C_ U -> ( y u. { z } ) e. U ) ) )
37	25, 36	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y C_ U -> y e. U ) -> ( ( y u. { z } ) C_ U -> ( y u. { z } ) e. U ) ) )
38	37	a2i 14	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( y C_ U -> y e. U ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ U -> ( y u. { z } ) e. U ) ) )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( ph -> ( y C_ U -> y e. U ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ U -> ( y u. { z } ) e. U ) ) ) )
40	6, 10, 14, 18, 21, 39	findcard2 8200	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ U -> A e. U ) ) )
41	2, 40	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( A C_ U -> A e. U ) )
42	1, 41	mpd 15	1 |- ( ph -> A e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   Fincfn 7955  WUnicwun 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-wun 9524

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