Theorem xrinf0 12168

Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrinf0	|- inf ( (/) , RR* , < ) = +oo

Proof of Theorem xrinf0

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> < Or RR* )
3		pnfxr 10092	. . . 4 |- +oo e. RR*
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> +oo e. RR* )
5		noel 3919	. . . . 5 |- -. y e. (/)
6	5	pm2.21i 116	. . . 4 |- ( y e. (/) -> -. y < +oo )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. (/) ) -> -. y < +oo )
8		pnfnlt 11962	. . . . . 6 |- ( y e. RR* -> -. +oo < y )
9	8	pm2.21d 118	. . . . 5 |- ( y e. RR* -> ( +oo < y -> E. z e. (/) z < y ) )
10	9	imp 445	. . . 4 |- ( ( y e. RR* /\ +oo < y ) -> E. z e. (/) z < y )
11	10	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ ( y e. RR* /\ +oo < y ) ) -> E. z e. (/) z < y )
12	2, 4, 7, 11	eqinfd 8391	. 2 |- ( T. -> inf ( (/) , RR* , < ) = +oo )
13	12	trud 1493	1 |- inf ( (/) , RR* , < ) = +oo

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034  infcinf 8347   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  ramcl2lem  15713  infleinf  39588  infxrpnf  39674  supxrltinfxr  39677  supminfxr  39694