Theorem xrmin1 12008

Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmin1	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )

Proof of Theorem xrmin1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4092	. . . 4 |- ( A <_ B -> if ( A <_ B , A , B ) = A )
2	1	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) = A )
3		xrleid 11983	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ A )
4	3	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ A <_ B ) -> A <_ A )
5	2, 4	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )
6		iffalse 4095	. . . 4 |- ( -. A <_ B -> if ( A <_ B , A , B ) = B )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ -. A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) = B )
8		xrletri 11984	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
9	8	orcanai 952	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ -. A <_ B ) -> B <_ A )
10	7, 9	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ -. A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )
11	5, 10	pm2.61dan 832	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xrltmin  12013  xrlemin  12015  min1  12020  mnfnei  21025  stdbdxmet  22320  stdbdmopn  22323  metnrmlem1a  22661  dvferm1lem  23747  lhop1  23777  stoweid  40280