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Theorem lhop1 23777

Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If

and

are differentiable real functions on

, and

and

both approach 0 at

, and

and

are not zero on

, and the limit of

, then the limit

also exists and equals

. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lhop1.a
lhop1.b
lhop1.l
lhop1.f
lhop1.g
lhop1.if
lhop1.ig
lhop1.f0	lim
lhop1.g0	lim
lhop1.gn0
lhop1.gd0
lhop1.c	lim

**Assertion**
Ref	Expression
lhop1	lim

Distinct variable groups:

Proof of Theorem lhop1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhop1.c	. 2 lim
2		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
3	2	rphalfcld 11884	. . . . . . 7 $/\$
4		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
5	4	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	5	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	6	rspcv 3305	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
9		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
16	14, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
17		lhop1.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
20	19	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
22	16, 18, 21	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
23	16	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
24		lhop1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
25	24	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
26	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
27	20, 26	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
28	27	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
30		xrltmin 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	13, 22, 31	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
33	18	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
34	25, 29	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	11	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
36		elioo5 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	baibd 948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
38	33, 34, 23, 35, 37	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
39	18, 16, 35	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
40	18, 16, 39	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
42	32, 38, 41	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
43	42	rabbi2dva 3821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
44	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
45		xrmin1 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
46	44, 28, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
48	44, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
49		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50	48, 49	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
51	43, 50	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
52	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
53	9, 52	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54		lbioo 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56	54, 55	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57	56	necon2ai 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58	57	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
59	58	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
62	60, 61	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
64		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65	62, 63, 64	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	67	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	59, 68	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
70	69	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
71		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	72	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	73	ralrab 3368	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	70, 74	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
76	51	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
78	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		lhop1.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81	80	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		lhop1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
83	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		lhop1.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		lhop1.if	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	86	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		lhop1.ig	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		lhop1.f0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 lim
91	90	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ lim
92		lhop1.g0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 lim
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ lim
94		lhop1.gn0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
95	94	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		lhop1.gd0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97	96	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ lim
99	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	78	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 78	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
105	100, 103, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	107, 108	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	109	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	106, 110	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	78, 101	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	103	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		xrltmin 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
115	100, 79, 113, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	81, 112, 115	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		xrmin2 12009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
118	79, 113, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		elioc1 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
120	100, 113, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	111, 116, 118, 120	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	105, 121	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	79, 113, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	78, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 98, 99, 122, 123, 124, 125, 126	lhop1lem 23776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	2	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
129		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
130		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	128, 129, 131	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	127, 133	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
136	77, 135	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	75, 136	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	137	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139	53, 138	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	expdimp 453	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143	141, 142	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
144		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
145		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
146	143, 144, 145	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . 16
147	146	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
148	147	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
149	148	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13
150	149	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	140, 151	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	152	adantld 483	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	153	com23 86	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	154	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	reximdva 3017	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
157	8, 156	syld 47	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
158	157	ralrimdva 2969	. . . 4 $/\$ $/\$
159	158	anim2d 589	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160		dvf 23671	. . . . . . . 8
161	86	feq2d 6031	. . . . . . . 8
162	160, 161	mpbii 223	. . . . . . 7
163	162	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 $/\$
164		dvf 23671	. . . . . . . 8
165	88	feq2d 6031	. . . . . . . 8
166	164, 165	mpbii 223	. . . . . . 7
167	166	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 $/\$
168	96	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
169		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11
170	166, 169	syl 17	. . . . . . . . . 10
171		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 $/\$
172	170, 171	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$
173		eleq1 2689	. . . . . . . . 9
174	172, 173	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 $/\$
175	174	necon3bd 2808	. . . . . . 7 $/\$
176	168, 175	mpd 15	. . . . . 6 $/\$
177	163, 167, 176	divcld 10801	. . . . 5 $/\$
178	177, 63	fmptd 6385	. . . 4
179		ax-resscn 9993	. . . . . 6
180	14, 179	sstri 3612	. . . . 5
181	180	a1i 11	. . . 4
182	17	recnd 10068	. . . 4
183	178, 181, 182	ellimc3 23643	. . 3 lim $/\$ $/\$
184	82	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
185	184	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
186	84	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
187	186	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
188	94	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
189		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11
190	84, 189	syl 17	. . . . . . . . . 10
191		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 $/\$
192	190, 191	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$
193		eleq1 2689	. . . . . . . . 9
194	192, 193	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 $/\$
195	194	necon3bd 2808	. . . . . . 7 $/\$
196	188, 195	mpd 15	. . . . . 6 $/\$
197	185, 187, 196	divcld 10801	. . . . 5 $/\$
198	197, 144	fmptd 6385	. . . 4
199	198, 181, 182	ellimc3 23643	. . 3 lim $/\$ $/\$
200	159, 183, 199	3imtr4d 283	. 2 lim lim
201	1, 200	mpd 15	1 lim

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cin 3573

wss 3574

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cioc 12176

cabs 13974 lim

climc 23626

cdv 23627

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: lhop2 23778 lhop 23779 fourierdlem61 40384

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