Theorem stdbdxmet 22320

Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )

Assertion

Ref	Expression
stdbdxmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C e. ( *Met ` X ) )
2		xmetcl 22136	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
3		xmetge0 22149	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
4		elxrge0 12281	. . . . . . 7 |- ( ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x C y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x C y ) ) )
5	2, 3, 4	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	5	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
7	1, 6	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xmetf 22134	. . . . . . 7 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
10		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( C : ( X X. X ) --> RR* -> C Fn ( X X. X ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C Fn ( X X. X ) )
12		fnov 6768	. . . . 5 |- ( C Fn ( X X. X ) <-> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
13	11, 12	sylib 208	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
14		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) )
15		breq1 4656	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> ( z <_ R <-> ( x C y ) <_ R ) )
16		id 22	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> z = ( x C y ) )
17	15, 16	ifbieq1d 4109	. . . 4 |- ( z = ( x C y ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
18	7, 13, 14, 17	fmpt2co 7260	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) ) )
19		stdbdmet.1	. . 3 |- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
20	18, 19	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = D )
21		elxrge0 12281	. . . . . 6 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( z e. RR* /\ 0 <_ z ) )
22	21	simplbi 476	. . . . 5 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) -> z e. RR* )
23		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R e. RR* )
24		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( z e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
25	22, 23, 24	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ z e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
26		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28		id 22	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
29		vex 3203	. . . . . . 7 |- a e. _V
30		ifexg 4157	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
31	29, 23, 30	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
32		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( z <_ R <-> a <_ R ) )
33		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> z = a )
34	32, 33	ifbieq1d 4109	. . . . . . 7 |- ( z = a -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( a <_ R , a , R ) )
35	34, 26	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( a <_ R , a , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
36	28, 31, 35	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
37	36	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
38		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
39	38	bibi1d 333	. . . . 5 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( a = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
40		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
41	40	bibi1d 333	. . . . 5 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( R = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
42		biidd 252	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ a <_ R ) -> ( a = 0 <-> a = 0 ) )
43		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 < R )
44	43	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R =/= 0 )
45	44	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> -. R = 0 )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. R = 0 )
47		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
48		xrltle 11982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
49	47, 23, 48	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
50	43, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 <_ R )
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ R )
52		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( a <_ R <-> 0 <_ R ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a = 0 -> a <_ R ) )
54	53	con3dimp 457	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. a = 0 )
55	46, 54	2falsed 366	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> ( R = 0 <-> a = 0 ) )
56	39, 41, 42, 55	ifbothda 4123	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) )
57	37, 56	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> a = 0 ) )
58		elxrge0 12281	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( a e. RR* /\ 0 <_ a ) )
59	58	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. RR* )
60	59	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> a e. RR* )
61	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R e. RR* )
62		xrmin1 12008	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
63	60, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
64	60, 61	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. RR* )
65		elxrge0 12281	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( b e. RR* /\ 0 <_ b ) )
66	65	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> b e. RR* )
67	66	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> b e. RR* )
68		xrletr 11989	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
69	64, 60, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
70	63, 69	mpand 711	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
71		xrmin2 12009	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
72	60, 61, 71	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
73	70, 72	jctird 567	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
74		xrlemin 12015	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ b e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
75	64, 67, 61, 74	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
76	73, 75	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
77	36	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
78		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> b e. ( 0 [,] +oo ) )
79		vex 3203	. . . . . . 7 |- b e. _V
80		ifexg 4157	. . . . . . 7 |- ( ( b e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
81	79, 23, 80	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
82		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> ( z <_ R <-> b <_ R ) )
83		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> z = b )
84	82, 83	ifbieq1d 4109	. . . . . . 7 |- ( z = b -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( b <_ R , b , R ) )
85	84, 26	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( b <_ R , b , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
86	78, 81, 85	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
87	77, 86	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) <-> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
88	76, 87	sylibrd 249	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
89	60, 67	xaddcld 12131	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e b ) e. RR* )
90		xrmin1 12008	. . . . . . 7 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
91	89, 61, 90	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
92	89, 61	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. RR* )
93	60, 61	xaddcld 12131	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e R ) e. RR* )
94		xrmin2 12009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
95	89, 61, 94	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
96		xaddid2 12073	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR* -> ( 0 +e R ) = R )
97	61, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) = R )
98	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 e. RR* )
99	58	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
100	99	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ a )
101		xleadd1a 12083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ a ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
102	98, 60, 61, 100, 101	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
103	97, 102	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( a +e R ) )
104	92, 61, 93, 95, 103	xrletrd 11993	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) )
105		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e b ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
106	105	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
107		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e R ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
108	107	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
109	106, 108	ifboth 4124	. . . . . 6 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
110	91, 104, 109	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
111	67, 61	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. RR* )
112	61, 111	xaddcld 12131	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) e. RR* )
113		xaddid1 12072	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR* -> ( R +e 0 ) = R )
114	61, 113	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) = R )
115	65	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ b )
116	115	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ b )
117	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ R )
118		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ b <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
119		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
120	118, 119	ifboth 4124	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ b /\ 0 <_ R ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
121	116, 117, 120	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
122		xleadd2a 12084	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ if ( b <_ R , b , R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
123	98, 111, 61, 121, 122	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
124	114, 123	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
125	92, 61, 112, 95, 124	xrletrd 11993	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
126		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
127	126	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
128		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
129	128	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
130	127, 129	ifboth 4124	. . . . 5 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
131	110, 125, 130	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
132		ge0xaddcl 12286	. . . . 5 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( a +e b ) e. _V
134		ifexg 4157	. . . . . 6 |- ( ( ( a +e b ) e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
135	133, 23, 134	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
136		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> ( z <_ R <-> ( a +e b ) <_ R ) )
137		id 22	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> z = ( a +e b ) )
138	136, 137	ifbieq1d 4109	. . . . . 6 |- ( z = ( a +e b ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
139	138, 26	fvmptg 6280	. . . . 5 |- ( ( ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
140	132, 135, 139	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
141	77, 86	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
142	131, 140, 141	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) <_ ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
143	1, 27, 57, 88, 142	comet 22318	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) e. ( *Met ` X ) )
144	20, 143	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,]cicc 12178   *Metcxmt 19731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-xmet 19739

This theorem is referenced by:  stdbdmet  22321  stdbdbl  22322  stdbdmopn  22323