Theorem mnfnei 21025

Description: A neighborhood of -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnei	|- ( ( A e. (ordTop ` <_ ) /\ -oo e. A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem mnfnei

Dummy variables a b c u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) = ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) = ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 21017	. . 3 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) )
5	4	eleq2i 2693	. 2 |- ( A e. (ordTop ` <_ ) <-> A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) )
6		tg2 20769	. . 3 |- ( ( A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) /\ -oo e. A ) -> E. u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ( -oo e. u /\ u C_ A ) )
7		elun 3753	. . . . 5 |- ( u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) <-> ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) \/ u e. ran (,) ) )
8		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) <-> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) \/ u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) )
9		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) = ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) )
11	10	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) <-> E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) <-> E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) )
13		nltmnf 11963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> -. y < -oo )
14		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- +oo e. RR*
15		elioc1 12217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo e. ( y (,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ y < -oo /\ -oo <_ +oo ) ) )
16	14, 15	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR* -> ( -oo e. ( y (,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ y < -oo /\ -oo <_ +oo ) ) )
17		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -oo e. RR* /\ y < -oo /\ -oo <_ +oo ) -> y < -oo )
18	16, 17	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> ( -oo e. ( y (,] +oo ) -> y < -oo ) )
19	13, 18	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> -. -oo e. ( y (,] +oo ) )
20		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( y (,] +oo ) -> ( -oo e. u <-> -oo e. ( y (,] +oo ) ) )
21	20	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( y (,] +oo ) -> ( -. -oo e. u <-> -. -oo e. ( y (,] +oo ) ) )
22	19, 21	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR* -> ( u = ( y (,] +oo ) -> -. -oo e. u ) )
23	22	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) -> -. -oo e. u )
24	23	pm2.21d 118	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) -> ( -oo e. u -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
25	24	adantrd 484	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
26	12, 25	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) = ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) )
28	27	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) <-> E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) ) )
29	9, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) <-> E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) )
30		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -oo e. RR*
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> -oo e. RR* )
32		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR*
33		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> y e. RR* )
34		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) e. RR* )
35	32, 33, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) e. RR* )
36	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> +oo e. RR* )
37		mnflt0 11959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -oo < 0
38		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> -oo e. u )
39		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> u = ( -oo [,) y ) )
40	38, 39	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> -oo e. ( -oo [,) y ) )
41		elico1 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -oo e. ( -oo [,) y ) <-> ( -oo e. RR* /\ -oo <_ -oo /\ -oo < y ) ) )
42	30, 33, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> ( -oo e. ( -oo [,) y ) <-> ( -oo e. RR* /\ -oo <_ -oo /\ -oo < y ) ) )
43	40, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> ( -oo e. RR* /\ -oo <_ -oo /\ -oo < y ) )
44	43	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> -oo < y )
45		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 = if ( 0 <_ y , 0 , y ) -> ( -oo < 0 <-> -oo < if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) )
46		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( 0 <_ y , 0 , y ) -> ( -oo < y <-> -oo < if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) )
47	45, 46	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo < 0 /\ -oo < y ) -> -oo < if ( 0 <_ y , 0 , y ) )
48	37, 44, 47	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> -oo < if ( 0 <_ y , 0 , y ) )
49	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> 0 e. RR* )
50		xrmin1 12008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) <_ 0 )
51	32, 33, 50	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) <_ 0 )
52		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
53		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. RR -> 0 < +oo )
54	52, 53	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> 0 < +oo )
55	35, 49, 36, 51, 54	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) < +oo )
56		xrre2 12001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( 0 <_ y , 0 , y ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo < if ( 0 <_ y , 0 , y ) /\ if ( 0 <_ y , 0 , y ) < +oo ) ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) e. RR )
57	31, 35, 36, 48, 55, 56	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) e. RR )
58		xrmin2 12009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) <_ y )
59	32, 33, 58	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> if ( 0 <_ y , 0 , y ) <_ y )
60		df-ico 12181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { c e. RR* | ( a <_ c /\ c < b ) } )
61		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ if ( 0 <_ y , 0 , y ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( x < if ( 0 <_ y , 0 , y ) /\ if ( 0 <_ y , 0 , y ) <_ y ) -> x < y ) )
62	60, 60, 61	ixxss2 12194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ if ( 0 <_ y , 0 , y ) <_ y ) -> ( -oo [,) if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) C_ ( -oo [,) y ) )
63	33, 59, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> ( -oo [,) if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) C_ ( -oo [,) y ) )
64		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> u C_ A )
65	39, 64	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> ( -oo [,) y ) C_ A )
66	63, 65	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> ( -oo [,) if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) C_ A )
67		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = if ( 0 <_ y , 0 , y ) -> ( -oo [,) x ) = ( -oo [,) if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) )
68	67	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = if ( 0 <_ y , 0 , y ) -> ( ( -oo [,) x ) C_ A <-> ( -oo [,) if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) C_ A ) )
69	68	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( if ( 0 <_ y , 0 , y ) e. RR /\ ( -oo [,) if ( 0 <_ y , 0 , y ) ) C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A )
70	57, 66, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( -oo [,) y ) ) ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A )
71	70	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
72	71	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
73	29, 72	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
74	26, 73	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) \/ u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
75	8, 74	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
76		mnfnre 10082	. . . . . . . . . 10 |- -oo e/ RR
77	76	neli 2899	. . . . . . . . 9 |- -. -oo e. RR
78		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ran (,) -> u C_ U. ran (,) )
79		unirnioo 12273	. . . . . . . . . . 11 |- RR = U. ran (,)
80	78, 79	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ran (,) -> u C_ RR )
81	80	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran (,) -> ( -oo e. u -> -oo e. RR ) )
82	77, 81	mtoi 190	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran (,) -> -. -oo e. u )
83	82	pm2.21d 118	. . . . . . 7 |- ( u e. ran (,) -> ( -oo e. u -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
84	83	adantrd 484	. . . . . 6 |- ( u e. ran (,) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
85	75, 84	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) \/ u e. ran (,) ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
86	7, 85	sylbi 207	. . . 4 |- ( u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) -> ( ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A ) )
87	86	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ( -oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A )
88	6, 87	syl 17	. 2 |- ( ( A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) /\ -oo e. A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A )
89	5, 88	sylanb 489	1 |- ( ( A e. (ordTop ` <_ ) /\ -oo e. A ) -> E. x e. RR ( -oo [,) x ) C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem2  40059